Старт в науке
Научный журнал для школьников ISSN 2542-0186
О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

МНОГОМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА

Ларионов А.В. 1
1 МАОУ Оинцовский лицей №6 им. А.С. Пушкина
Пилипенко Г.И. (, МАОУ Одинцовского лицея №6 им. А.С. Пушкина)
многомерность
1. ru.wikipedia.org, статья «Теория Калуцы –Клейна».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%83%D1%86%D1%8B_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BB%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0
2. ru.wikipedia.org, статья «Симплекс». https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81
3. ru.wikipedia.org, статья «Гиперкуб».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%B1
4. ru.wikipedia.org, статья «Размерность пространства».
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82% D0%B2%D0%B0
5. Александров П.С. Комбинаторная топология. 1947, с. 660.
6. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. 1973. с. 576
7. Понтрягин П.С. Основы комбинаторной топологии. 1947. с. 142
8. R. Blei Analysis in integer and fractional dimensions. 2003. p. 556

Введение

С раннего детства меня интересовали самолеты, их устройство и все, что с ними связано. Изучение технической литературы, занятия в кружке авиа моделирования, собственные эксперименты, привели меня к этой работе.

1. Предметная область

Геометрия

2. Разработанность исследуемой проблемы

А. Эйнштейн создал Теорию Относительности в многомерности, тем самым, внес вклад в изучение многомерных пространств. Так же, математик Р. Декарт создал систему координат – «жизненно» необходимую для изучения пространства. Так же была создана теория Пуанкаре, которая была доказана полностью лишь в 2002 году. Так же, существует теория Калуцы – Клейна[1], вкратце, описанная здесь.

3. Цель работы

Исследование измерений в геометрии, решение геометрических задач. Изучение теорий. Расширение кругозора учащихся, путем толкования темы максимально доступным языком.

4. Актуальность

Работа нацелена рассказать о теориях многомерного пространства, показать, как решаются нестандартные задачи по геометрии, с применением элементов алгебры 7-8 класса школьной программы. Далее описываемый материал не включен в общеобразовательный комплекс геометрии средней и старшей школы.

5. Методы

Поиск и изучение источников информации, изучение и задач, их решение и методы решения. Решение некоторых задач на нахождение гиперобъема (тессеракт, пентаракт, гексеракт и т.д; симплекс) и на вычисление гипердиагонали геперкубов.

Определения

В этой работе будут использоваться специальные для этой темы обозначения. Обозначения приведены ниже с толкованием.

Гиперобъем – некоторая величина, обозначающая «внутренность» гипертел. Вычисляется по формуле , где N – мерность пространства. В конце решения задачи ставится метрическая единица длины с индексом N. пример: (показано на примере вычисления гиперобъема гиперкуба 7ой мерности пространства, хептеракт)

Мерность пространства – или «Размерность пространства», бытовое название «измерение». [4] Количество независимых параметров, нужных для описания состояния объекта. К примеру, в 3х мерном пространстве, для описания , к примеру, куба, нам необходимо 3 величины: x – длина, y – высота и z – ширина. По тому же самому алгоритму выполняются описания гипертел уже в других мерностях, то есть в 4ой мерности будет 4 величины и так далее.

Гиперкуб – куб N – мерности. Префикс «гипер» добавляется ко всем многомерным аналогам 3х мерных тел.

Гипердиагональ Гиперкуба – Диагональ между 2 вершинами гиперкуба. Находится по формуле (по аналогии с формулой диагонали квадрата).

Политоп – Подмножество Евклидова пространства, представляющее из себя конечное число симплексов.

Гипервысота – высота от основания гипертела. Обычно применяется при решении задач с симплексами.

Теория

Мы живем в трехмерном пространстве. Наши приборы не могут фиксировать наличие высших измерений. Это пытается объяснить теория Калуцы−Клейна: высшие размерности имеют замкнутую топологию, поэтому они никак не проявляют себя в обычных условиях.

В данной работе описывается теория размерности. Далее приведены некоторые аспекты данной теории, необходимые для этой исследовательской работы. Начнем с описания каждого из измерений, вплоть до 4, так как условно принято писать номер измерения как ND, где N – мерность пространства. (D. – сокращ. от англ. «измерение»)

0D – измерение в пространстве, не имеющее величин. Пример 0-мерного тела – точка.

1D – измерение в пространстве, имеющее только величину x – длина. Примером послужит прямая. В этом измерении мы можем, условно, измерить длину прямой, если отложить на ней отрезок.

2D – измерение в пространстве, с двумя величинами, которые принято обозначать как x и y. где x – длина, y – высота. В этом измерении существует, так называемая, Система координат – некий комплекс определений, использующий метод координат для определения положения точки или множества точек или тела в пространстве с помощью символов или чисел.

Система координат была открыта французским философом и математиком Рене Декартом.

Примером для двухмерного пространства служит, к примеру, квадрат, а так же еще огромное множество двухмерных фигур. Мы можем найти, к примеру, площадь квадрата, по формуле . Так же существует еще множество формул, применимых к остальным фигурам.

3D – измерение в пространстве, имеющее три величины, которые обозначают как x, y, z. Где x – длина, y – высота, z – ширина. В этом измерении, как и в предыдущем, есть система координат, в которой присутствует, помимо длины и высоты, еще ширина. Примером может послужить куб. Мы можем найти объем куба по формуле . Так же существует множество формул по нахождению объема. 4D – измерение в пространстве, имеющее четыре величины, которые обозначают как x, y, z, ω. Где x – длина, y – высота, z –ширина, ω−время. Последняя переменная обусловлена тем, что гипертела (см. Определения) напрямую связаны со временем, так как гипертело имеет свойство вращаться и проходить своими гранями сквозь себя. Примером четырехмерного гипертела можно считать тессеракт, симплекс и много других аналогов 3х мерных фигур. Можем найти Гиперобъем тела (см. Определения). Вычислим его по формуле , где N – мерность пространства.

•Примечание

Заметим, что все формулы, присущие каждому из измерений, имеют аналоги в предыдущем измерении, кроме первого измерения, т.к в нулевом измерении нет формул на нахождение какого – либо параметра точки, как таковых.

Измерения старше 4го описывать не стоит, так как очень проблематично описать точку или гипертело в пространстве.

Hypercube-construction-4d.png

Точка, отрезок, квадрат, куб, тессеракт - соответсвенно.

Частные случаи

Тессеракт – Четырехмерый гиперкуб, аналог куба.

Симплекс – Обобщенное название n-мерного тетраэдра.

Гипертор – Многомерный аналог тора (тор – поверхность вращения, получаемая при вращении образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, не пересекая ось)

Хептеракт (Гептеракт) – 7ми мерный гиперкуб. 5-Ортоплекс (Пентакросс, триаконтадитерон) – правильный политоп. Проще говоря, 5ти мерная гиперпирамида из 16 ячеек.

Кросс-политоп – аналог 2х мерного квадрата. Правильный политоп, двойственный n – мерному гиперкубу.

Гиперкубы

Гиперкубы – фигуры, аналогичные трехмерному кубу [3]. Обобщенное понятие на случай с n – количеством мерностей. Существует 6 известных многомерных кубов: Тессеракт, Пентеракт, Хексеракт, Хептеракт, Октеракт, Эннеракт, Декеракт.

Гиперобъем гиперкуба находится по формуле .

Найдем гипердиагональ по формуле .

Гиперкуб можно описать гиперсферой и вписать в него гиперсферу. радиус описанной Гиперсферы .

Радиус вписанной Гиперсферы находится по формуле .

Все эти формулы применимы к кубам любой мерности.

Гиперкуб N – мерности удовлетворяет неравентсву , где a- длина ребра.

Задачи (часть 1)

Задача №1

Дан Гиперкуб 7ой мерности. Найдите его гиперобъем, при условии, что длина ребра равна 3.

Решение:

Задача №2

Дан Эннеракт с Гиперобъемом равным 512 см9. Найдите длину ребра.

Решение:

Задача № 3

Дан Тессеракт и гиперсфера, соответсвующей мерности. Длина ребра является отношением . Найдите радиус описанной гиперсферы.

Решение:

R => R = 3.

Ответ: 3 см.

Задача №4

Дан Пентеракт. Найдите гипердиагональ, при условии, что длина ребра 7.

Решение:

Ответ: ~15,625476

Симплексы

Симплекс – (от лат. «simplex» - простой). [2].Обобщенное название n-мерного треугольника. В геометрии, для простого понимания, перед слом «симплекс» ставится число мерности. Например, 3-симплекс (тетраэдр) и так далее. По формуле, можем найти гиперобъем n-симплекса с единичной стороной: . Так же существует формула гиперобъема симплекса для стороны с любым значением .

Так же мы можем найти гипервысоту по формуле , где n –мерность пространства.

Можем найти косинус двугранного угла по формуле .

Задачи (часть 2)

Задача №1

Дан 4-симплекс с единичной стороной. Найдите гиперобъем этого симплекса.

Решение:

Ответ: 0, 002911 см4

Задача №2

Дан 4-симплекс со стороной 3 см. Найдите гиперобъем этого симплекса

Решение

Ответ: ~1см4

Задача №3

Дан 9-симплекс со стороной 4см. Найдите гипервысоту этого симплекса.

Решение:

Ответ: ~2,236 см9

Заключение.

Применение на практике

Мы знаем, что функция – это зависимость результата только от одного параметра. Если же что-то описывается более чем одним параметром, то оно описывается геометрически точками, линиями, фигурами, поверхностями в многомерных пространствах. Геометрия многомерных пространств – широко применяемый математический аппарат для наглядного представления, исследования и прогнозирования большинства реальных процессов. Тем более, изучение этой темы необходимо еще и для изучения квантовой механики и физики, согласно теории Розенфельда, гласящей о том, что квантовая механика и физика невозможна без применения множества различных пространств.


Библиографическая ссылка

Ларионов А.В. МНОГОМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА // Старт в науке. – 2020. – № 3. ;
URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1931 (дата обращения: 27.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074