• Авторы
• Научный руководитель
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Шмакова А.Р. 1

---

1 МОУ СОШ №22 п. Беркакит, г. Нерюнгри Республика Саха (Якутия)

Лаптева Т.П. (п. Беркакит, МОУ СОШ №22)

Статья в формате PDF

169 KB

число

квадрат

степень

способ

устно

алгоритм

1. Умножай с умом. Учебно-методическое пособие для учащихся общеобразовательных учреждений /Лаптева Т.П. – М.: Перо, 2017.

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофант_Александрийский

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_(Декарт)

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лейбниц,_Готфрид_Вильгельм

5. https://mirurokov.ru/открытый-урок/возведение-в-степень/история-возникновения-степени-числа.html

Введение.

Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.

Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.

Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.

Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.

Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.

2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.

4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.

Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.

Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.

Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.

История возникновения квадрата числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].

В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:

«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,  получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Прошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а?,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а² и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.

Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей  и применял знак а²[5].

Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.

Учись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:

• Способности;
• Алгоритмы;
• Тренировка;
• Опыт.

Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].

 Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.

1. 35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 · 5 = 1200 + 25 = 1225.
2. 75² = 5600 + 25 = 5625.
3. 85² = 7225.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.

Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.

• 52² = (5 · 5 + 2) · 100 + 2 · 2 = 2700 + 4 = 2704.
• 54² = (25 + 4) · 100 + 16 = 2916.
• 58² = 3300 + 64 = 3364.
• 51² = 2601.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.

• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.

1. 71²; 71→70→70² = 4900;                      71² = 4900 + 71 + 70 = 5041.
2. 41² = 1600 + 41 + 40 = 1881.
3. 81² = 6400 + 161 = 6561.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.

1. 59²; 59 → 60→60² =3600;       59² = 3600 – 60 – 59 = 3600 – 119 = 3481.
2. 29² = 900 – 29 – 30 = 841.
3. 79² = 6400 – 159 = 6241.
4. При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно его округлить до десятков, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное при округлении.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.

1. 84²; 84→85→85² = 7225;       84² = 7225 – 84 – 85 = 7225 – 169 = 7056.
2. 34² = 1225 – 34 – 35 = 1225 – 69 = 1156.
3. 74² = 5625 – 149 = 5476.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.

1. 56²; 56→55→55² = 3025;          56² = 3025 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
2. 36² = 1225 + 36 + 35 =1296.
3. 76² = 5625 + 151 = 5776.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить  цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.

     1) 44² = (15 + 4) · 100 + (50 – 44)² = 1900 + 36 = 1936.

     2) 43² = 18 · 100 + 7² = 1800 + 49 = 1849.

     3) 48² = 2300 + 4 = 2304.

• Чтобы возвести в квадрат числа пятого десятка (41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49), надо к числу 15 прибавить число единиц числа, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения данного числа до 50.

б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.

     1) 37² = (37 – 25) · 100 + (50 – 37)² = 12 · 100 + 13² = 1200 + 169 = 1369.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

     2) 28² = 3 · 100 + 22²  = 300 + 484 = 784.

     3) 46² = 2100 + 16 = 2116.

     4) 39² = 1400 + 121 = 1521.

• Чтобы возвести в квадрат число от 25 до 50, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат дополнения данного числа до 50.

в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.

     1) 57² = (25 +7) · 100 + (57 – 50)² = 32 · 100 + 7² = 3200 + 49 = 3249.

     2) 52² = 2700 + 4 = 2704.

     3) 59² = 3481.

• Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59), надо к 25 прибавить число единиц, затем к полученной сумме приписать квадрат разности данного числа и 50.
• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.

Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.

     1) 58² = (58 – 25) · 100 + (58 – 50)² = 33 · 100 + 8² = 3300 + 64 = 3364.

     2) 71² = 46 · 100 + 21² =  4600 + 441 = 5041.

• Чтобы возвести в квадрат числа от 50 до 75, надо из данного числа вычесть 25, результат умножить на 100 и прибавить квадрат разности данного числа и 50.

Возведение в квадрат числа, близкого к 100.

97² = (97 – 3) · 100 + 3² = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.

94² = (94 – 6) · 100 + 6² = 8800 + 36 = 8836.

98² = 9604.

• Чтобы возвести в квадрат число, близкое к 100, надо из него вычесть дополнение данного числа до 100, к результату приписать квадрат дополнения.
• Если квадрат дополнения является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

а)   Метод «пирамидка».

38²  = (30 + 8)² = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +

+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3² · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8² = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.

Можно оформить решение так: 

27² = 449 + 280 = 729.

84² = 6416 + 640 = 7056.

б) Метод «перекидки».

42² = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2² = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764

78² = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.

в) Метод «округления».

1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:

47² = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3² = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.

26² = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.

1) Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:

73² = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3² = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.

82²  = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.

г) Метод замены квадрата числа произведением.

29² = (29 – 9) · (29 + 9) + 9² = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.

86² = (86 – 6) · (86 + 6) + 6² = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.

54² = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.

д) Метод понижения числа на единицу.

28² = (28 – 1)² + 28 + (28 – 1) = 27² + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.

56² = 55² + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.

Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.

Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.

Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.

Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.

Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.

Напомню: 35² = 3 · (3 + 1) · 100 + 5² = 1200 + 25 = 1225.

Возведём по этому способу в квадрат число 36.

Мы знаем, что 36² = 1296.

3 · (3 + 1) · 100 + 6² = 1200 + 36 = 1236, но 1236  1296. Число 1236 < 1296 на 60.

Где же взять число 60? Можно догадаться, что 60 = 30 · 2, то есть удвоенное число десятков. Тогда получаем:

36² = 3 · 4 · 100 + 6² + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.

Рассмотрим другие примеры.

56² = 5 · 6 · 100 + 6² + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.

46² = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.

Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:

1. Выпишем цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. В этом ряду цифра 5 занимает середину; 4 и 6 отличаются от 5 на 1, они стоят на первом месте от 5; 3 и 7 – на втором; 2 и 8 – на третьем; 1 и 9 на четвёртом.

Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:

39²  = 3 · 4 · 100 + 9² + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.

240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.

А как возвести в квадрат число, если цифра единиц меньше 5. Например, 73².

Число 73 < 75, значит, применяя приём возведения в квадрат для 75, квадрат числа 73 будет меньше.

73² = 5329;   

73² = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 ≠ 5609.

Решим уравнение:

73² = 5609 – х

5329 = 5609 – x

х = 5609 – 5329

х = 280, где  280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.

Эврика! Способ найден!

73² = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.

Можно оформить решение и так: 

• Чтобы возвести любое двузначное число в квадрат, надо количество десятков умножить на следующее число и приписать квадрат числа единиц. К полученному результату прибавить (или из полученного результата вычесть) удвоенное произведение десятков числа, умноженное на порядковый номер места цифры единиц в числовом ряду 1₄, 2₃, 3₂, 4₁, 5, 6₁, 7₂, 8₃, 9₄ от цифры 5.
• Если квадрат числа единиц является однозначным числом, то перед ним записать цифру нуль.

Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два  приёма. Мне они оба понятные и несложные.

1. 68² = 6² 100 + 8² + 60 · 8 + 60 · 8 = 3664 + 480 + 480 = 3664 + 960 = 4624.
2. 68² = 6 · 7 · 100 + 8² + 60 ·2 · 3 = 4264 + 360 = 4624.

Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.

Заключение.

Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:

• к сокращению времени на вычисления;
• к защите от массы вычислительных ошибок;
• к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.

Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.

Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.

Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[1]!

Библиографическая ссылка