• Авторы
• Научный руководитель
• Файлы
• Литература

Апатикова М.Г. 1

---

1 7 = 8 или тренировка для ума – парадоксы и софизмы в математике

Чернышева В.С. (Наро-Фоминск, МАОУ СОШ №3 СУИОП)

Статья в формате PDF

0 KB

1. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003.

2. Обреимов В.И. Математические софизмы. – СПб., 1989.

3. Михеева Т.Н. Софизмы (Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия). – М.: Грамотей, 2007.

4. Ивлев Ю.В. Логика. – М.: Проспект, 2006.

5. Шамина В.В., Матешин В.Е., Ефремова А.А., Шмелева О.В. Математические парадоксы и софизмы // Юный ученый. – 2016. – №6.1. – С. 47–50.

6. Маслов А.Н. Логика для детей и взрослых.

7. Гусев Д.А. Удивительная логика (о чем умолчали учебники). – М., 2010.

8. Генри Дьюдени Средневековые головоломки.

10.https://infourok.ru/materialy_k_uroku_matematiki_na_temu_sofizmy_i_paradoksy-137969.htm

11.http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/10/31/matematicheskie-sofizmy-i-paradoksy

12.https://ru.wikipedia.org/wiki/ %D0 %A1 %D0 %BE %D1 %84 %D0 %B8 %D0 %B7 %D0 %BC

Математика – один из моих любимых школьных предметов. Она мне нравится не только потому, что это основной школьный предмет, но и потому, что без математических знаний в жизни не обойтись. Математика одна из древнейших наук. Она сопровождает нас везде: в науке, медицине, строительстве, сельском хозяйстве, торговле и юриспруденции. Занятие математикой развивает логическое мышление, сосредоточенность, находчивость, устойчивое внимание, хорошую память, смекалку.

В повседневной жизни мы сталкиваемся с интересными и очень забавными вещами, при виде которых хочется удивляться, любоваться и изумляться красоте и изяществу.

Вот, например:

(1+2–3–4)(5–6–7–8–9)=100

2•9=2592.

Я люблю решать задачи, докапываться до истины, разгадывать вместе с бабушкой математические ребусы, головоломки, шарады, кроссворды и играть в интеллектуальные игры. В ноябре этого года мы с классным руководителем посетили музей «Экспериментаниум», и там я в подарок бабушке купила несколько книг: «Логика для детей и взрослых» А.Н. Маслова, «Удивительная логика» Д.А. Гусева и «Средневековые головоломки» Генри Дьюдени. Как-то вечером, после просмотра очередного детектива, бабушка мне говорит: «Маша, а ты знаешь, что 7=8!»

Я заинтересовалась….

Бабушка с легкостью доказала это равенство…

Вот как это было: 7=8.

Запишем верное равенство:

49+14–63=56+16–72,

вынесем общий множитель за скобки

7(7+2–9)=8(7+2–9),

разделим обе части на (7+2–9).

Получим, что 7=8, что и требовалось доказать….

Где ошибка? Я попыталась решить (Приложение 6).

Работая над проектом, я узнала, что в математике есть такие понятия, как софизмы и парадоксы. И это не одно и то же. Парадоксы и софизмы очень поучительны и интересны, а история математики полна неожиданных софизмов и парадоксов, а их разрешение, порой, служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Процесс нахождения ошибок в софизмах и парадоксах ведет к осмысленному постижению математики. Такой подход при изучении математики способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле. Как сказал выдающийся ученый Блез Паскаль: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным».

Актуальность темы: В жизни, к сожалению, часто можно столкнуться с обманом, мошенничеством. Я считаю, что очень важно научиться отличать ложь от истины и уметь противостоять манипуляциям со стороны других. Благодаря математическим софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Гипотеза: Парадоксы и софизмы – тренировка для ума.

Цель: изучить данную тему, а именно, узнать, что такое софизмы и парадоксы. Найти применение полученных знаний на практике, в жизни.

Задачи:

1. Познакомиться с парадоксами и софизмами.

2. Узнать, в чем их отличие.

3. Понять, как найти ошибку в парадоксах и софизмах?

4. Узнать, как проклассифицировать парадоксы и софизмы, по каким критериям?

5. Составить свой софизм или парадокс.

6. Познакомить одноклассников с результатами работы.

Объект и предмет исследования: софизмы и парадоксы.

Методы исследования:

1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет-источников

2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками

3. Анкетирование одноклассников

4. Анализ и обобщение полученных данных.

Этапы исследования:

1. Сбор информации в книгах и интернете

2. Беседы с учителем, родными и одноклассниками

3. Анализ собранного материала

4. Анкетирование одноклассников

5. Обработка анкет

6. Поиск практического применения полученных знаний

7. Создание презентации

8. Оформление буклета.

Узнала я от бабушки, что 7=8,

А 2+2=5,

Три тоже, что и Два.

И числа все равны…

Что вор – не вор,

И спичка великан.

Часы идут, когда лежат,

Стоят, когда висят.

Софизм и парадокс – красивые слова….

Где правда, а где ложь,

Ведь сразу не поймешь.

Но если знания имеешь ты

И с логикой знаком,

То распознать обман

Легко сумеешь ты,

И доказать, что 7=7,

А 2+2=4.

Что вор – есть вор,

И что лекарства не всегда добро.

Все в меру и с умом.

Желание и труд,

Усилие и терпение.

Твой мозг в работу приведут,

Ведь главное – учение!

Теоретическая часть

В данном разделе мы собрали информацию, полученную из прочитанных книг, научных статей и со страниц Интернета. Я познакомилась с понятиями софизма и парадокса, с помощью учителя установила их связь с математикой, мы доказали, что умение решать софизмы способствует развитию логики, математические софизмы и парадоксы могут использоваться на уроках математики, быть основой игры КВН.

Что такое софизм – понятия и определения

Из словаря Ожегова С.И. мы узнали:

Софизм, -а, м. (книжн.). Формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положении.

В Википедии мы нашли:

Софизм (от греч. σ?φισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – (1) сложное рассуждение, иногда намеренно запутанное с целью показать умственное превосходство или ввести в заблуждение; (2) нестандартная задача, как правило, имеющая несколько решений; (3) приём обучения и метод исследования, введённый древнегреческими софистами; широко практиковался в средневековых университетах (sophismata), послужил прообразом современных сборников задач и упражнений; (4) ошибочное рассуждение, неправильный аргумент. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу.

Из литературы мы собрали информацию:

Слово софизм – красивое и весьма необычное, к тому же его мы не употребляем в повседневной жизни, поэтому некоторые люди не знают, что оно означает, а порой, и впервые слышат. Софизмы были замечены еще в древности[1]. Термин софизм впервые ввел Аристотель, который охарактеризовал софистику как мнимую, а не действительную мудрость. Возникновение софизмов можно отнести к V—IV вв. до нашей эры. Наиболее известные и интересные софизмы были сформулированы в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.Позднее в древней Греции софистами стали называть философов – учителей, которые учили своих учеников «мыслить, говорить и делать» [5]. Софисты были глубоко образованными людьми, они стремились научить учеников владеть искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Зенона, Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса (Приложение 7). Суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия.

Софизм – это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее [1].

В юриспруденции, которой я собираюсь заниматься в будущем, софизм считается помехой в споре. Использование софизмов уводит рассуждение в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Вот пример древнего софизма: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего – есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего».

Софизмы делятся на математические и логические.

В математических софизмах выполняются «запрещенные» действия, идущие не по правилам и законам математики. Решение (разбор) софизмов – очень увлекательное занятие [3].

Различают три типа математических софизмов: алгебраические, арифметические и геометрические (Приложение 5).

Роль софизмов в математике

Способствуют повышению строгости математических рассуждений. Содействуют более глубокому уяснению понятий и методов математики. Софизмы развивают логическое мышление. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость. Разбор софизмов увлекателен. Софистика – это целая наука, а математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Поиск в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному, глубокому изучению математики.

Парадоксы – понятие и определения

«А разве сама жизнь не парадокс?» (Л. Кэррол, «Полуночные задачи»)

Из словаря Ожегова С.И.: Парадокс, -а, м. (книжн.). 1. Странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Говорить парадоксами. 2. Явление, кажущееся невероятным и неожиданным.

В Википедии мы нашли: Парадокс (от др.-греч. παρ?δοξος – неожиданный, странный от др.греч. παρα-δοκ?ω – кажусь) – ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным (зачастую лишь при поверхностном понимании). Парадокс, в отличие от афоризма, поражает неожиданностью. Например, уайльдовский «Разводы совершаются на небесах». Парадокс – это всегда полуправда и это, как говорил Оскард Уальд, «лучшее, чего мы можем достичь, потому что абсолютных правд не существует». Парадокс своей стилизованной формой напоминает афоризм. В парадоксе привычная истина рушится на глазах и даже высмеивается. Например, «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы – прекрасный человек!» (О. Уайльд), «Взаимное непонимание – самая подходящая основа для брака» (О. Уайльд).

Из литературы мы узнали: Парадоксы – это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку[2]. В широком смысле парадокс – высказывание, истинность которого неочевидна; в этом смысле парадоксальными принято называть любые неожиданные противоречивые высказывания, особенно, если неожиданность их смысла выражена в остроумной форме. Библер В.С. замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах – от чисто словарного и повседневного (красиво звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее осознанного в парадоксах теории множества».

Парадокс – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом. Это высказывание, истинность которого не очевидна; справедливое, но неожиданное утверждение.

Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь. В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причём каждое из них выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, то есть парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь. Парадокс в современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы. Грань между софизмом и парадоксом не является сколько-нибудь определенной. В случае многих конкретных рассуждений невозможно решить на основе стандартных определений софизма и парадокса, к какому из этих двух классов следует отнести суждение. В разных источниках, мы встречали термин «апории» (греч. «затруднение») по отношению и к софизмам, и к парадоксам. Даже в отношении таких знаменитых «апорий», как «Покрытый», «Протагор и Еватл» не решено, относить их к софизмам или парадоксам. От этого тема парадоксов и софизмов стала для меня еще интереснее.

Выводы: Софизм и парадокс это не одно и тоже. Отличие между софизмом и парадоксом: отношение к истине. Несмотря на то, что и софизм и парадокс доказывают на первый взгляд абсурдные вещи, парадокс это верное утверждение, в то время как софизм изначально ложное. В отличие от парадокса, в софизме ошибка сделана специально, но скрыта, якобы, под правильным действием. Парадокс – это абсолютная истина, софизм – относительная истина. Разбор софизмов и анализ парадоксов очень увлекателен, узнав одно, хочется искать что-то новое. Работа с софизмами и парадоксами способствует развитию современных идей и методов. Этими вопросами занимается наука, называемая математической логикой.

Практическая часть

Мы поработали с книгами и учебниками по логике и основам математики, посмотрели статьи в интернете и работы сверстников по моей теме. Я побеседовала с родными и близкими, с одноклассниками.

С Викторией Сергеевной, моим учителем по математике и руководителем данной работы, мы определили цель и поставили перед собой задачи, выдвинули гипотезу, выбрали методы и продумали этапы исследования, составили вопросы анкеты.

В первую очередь мы решили собрать информацию о софистах, людях, которые зарождали эту науку. Сведения о них мы опубликовали в Приложении №7. Выяснили, что, благодаря софистам, в словесных упражнениях, какими были софистические рассуждения, неосознанно отрабатывались первые, еще не ловкие приемы логического анализа языка и мышления. А превращение языка в серьезный предмет особого анализа, в объект систематического исследования было первым шагом в направлении создания науки логика. Софизмы содействовали строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.

Провели в школе первый этап анкетирования, в анкетировании принимало участие 40 человек, учащиеся 5 и 6 классов. Ребята ответили на первые четыре вопроса анкеты (результаты приведены в Приложении №4). 70 % ребят знакомы со словом парадокс и софизм, сталкивались в жизни с простейшими софизмами и парадоксами.

Бабушка помогла мне подобрать литературу и выбрать интересные примеры софизмов и парадоксов, с ней мы их вместе решали по вечерам. В итоге собрали интересные примеры софизмов и парадоксов, оформили буклет (Приложение 6).

Мама предложила мне встретиться и поговорить о проекте с очень интересным человеком, которая всю свою жизнь посвятила школе, любимому предмету – математике, с Нечаевой Ларисой Ивановной, что я и сделала. Лариса Ивановна очень много нового рассказала мне о софизмах и парадоксах и о науке под названием логика. Поставила передо мной вопрос: «зачем нам нужна логика, какую роль она играет в нашей жизни?».

Исчерпывающий ответ, с которым я полностью согласна, я нашла в литературе: логическая культура – это знание и соблюдение основных принципов и требований правильного построения и выражения мыслей как в устной, так и в письменной речи. Отсутствие такой культуры приводит к многочисленным и разнообразным логическим ошибкам, которые засоряют не только научное, но и повседневное мышление, мешают нам думать, общаться, понимать друг друга и самих себя. Неясность и неопределенность мышления, его непоследовательность и сумбурность, противоречивость и необоснованность являются прямым результатом отсутствия должного уровня логической культуры.

Каждый из нас хорошо знает, что по содержанию человеческое мышление бесконечно многообразно, ведь мыслить (думать) можно о чем угодно, например, об устройстве мира и происхождении жизни на Земле, о прошлом человечества и его будущем, о прочитанных книгах и просмотренных фильмах, о сегодняшних занятиях и завтрашнем отдыхе… Но самое главное заключается в том, что наши мысли возникают и строятся по одним и тем же законам, подчиняются одним и тем же принципам, укладываются в одни и те же схемы или формы. Причем если содержание нашего мышления чрезвычайно разнообразно, то форм, в которых выражается это разнообразие, совсем немного.

Приведем простой пример. Рассмотрим три высказывания: Все караси – это рыбы; Все треугольники – это геометрические фигуры; Все стулья – это предметы мебели. Несмотря на различное содержание, у этих высказываний есть нечто общее, что-то их объединяющее. Что же это? Их объединяет форма. Отличаясь по содержанию, они сходны по форме, ведь каждое из трех высказываний строится по форме Все А – это В, где А и В – какие-либо объекты. Понятно, что само высказывание Все А – это В лишено всякого содержания. Это высказывание представляет собой чистую форму, которую можно наполнить любым содержанием, например: Все сосны – это деревья; Все города – это населенные пункты; Все школы – это учебные заведения; Все тигры – это хищники и т. п.

Другой пример. Возьмем три различных по содержанию высказывания: Если наступает осень, то опадают листья; Если завтра пройдет дождь, то на улице будут лужи; Если вещество – металл, то оно электропроводно. Будучи непохожими друг на друга по содержанию, эти высказывания сходны между собой тем, что строятся по одной и той же форме: Если А, то В. Понятно, что и к этой форме можно подобрать множество содержательных высказываний, например: Если не подготовиться к контрольной работе, то можно получить двойку; Если взлетная полоса покрыта льдом, то самолеты не смогут взлететь; Если слово стоит в начале предложения, то его надо писать с большой буквы и т. п [7]. Если логическая культура не дается человеку от природы, то как же она формируется? Логической культурой мышления овладевают в ходе общения, учебы в школе и вузе, в процессе чтения литературы. Встречаясь неоднократно с теми или иными способами рассуждения, мы постепенно начинаем усваивать, какие из них правильные, а какие – нет. Затем начинаем сами рассуждать в соответствии с правильными способами рассуждения. Наша культура мышления повышается. Однако такой стихийный путь формирования логической культуры не является лучшим. Люди, не изучавшие логику, как правило, не владеют теми или иными логическими приемами. Кроме того, у таких людей разная логическая культура, что не способствует взаимопониманию. Логика систематизирует правильные способы рассуждения, а также типичные ошибки в рассуждениях. Она предоставляет логические средства для точного выражения мыслей, без чего оказывается малоэффективной любая мыслительная деятельность, начиная с обучения и кончая научно-исследовательской работой [4]. Итак, логика помогает нам правильно строить свои мысли и верно их выражать, убеждать других людей и лучше понимать собеседника, объяснять и отстаивать свою точку зрения, избегать ошибок в рассуждениях.

Лариса Ивановна также подтвердила мои предположения, что сведения, собранные в данной работе, пригодятся в дальнейшей моей юридической практике (если я не изменю свое решение стать юристом). Еще мне очень понравилась цитата, которую в беседе со мной использовала Лариса Ивановна: «Математика – гимнастика ума» – так сказал А.В. Суворов, а продолжила она так, учиться надо играючи, чтобы было желание постигать изо дня в день что-нибудь новое. Поэтому в приложении к работе я собрала понравившиеся мне цитаты (Приложение 8).

Дальше я направилась к моей тете Климовой Татьяне Кузьминичне, она тоже учитель математики. Татьяна Кузьминична внимательно посмотрела собранный материал, и предложила на практике применить полученные мною знания, например, показать ребятам наглядно, что и объяснить куда делась 13 палочка. Что мы и сделали на уроке (Приложение 2).

Следующим шагом нашей практической работы был второй этап анкетирования ребят, учеников 5 и 6 класса. В двух классах я рассказала о нашей работе, показала презентацию, наглядные опыты. Одноклассники и ребята 6 класса с вниманием выслушали мое выступление и заполнили вторую часть анкеты. Нам с Викторией Сергеевной было очень интересно узнать их мнение. Обработав анкеты, мы сделали вывод, что вопрос ребятам интересен, 77 % опрошенных считают полезным решение парадоксов и софизмов (Приложение 4).

Вместе с ребятами мы выбрали простой софизм и на его примере придумали свой, по которому написали сценарий сценки в двух вариантах (Приложение 1).

Разобрали несколько математических софизмов. При их разборе мы выделили ряд основных тщательно замаскированных ошибок в софизмах:

• деление на 0;

• неправильные выводы из равенства дробей;

• нарушения правил действия с именованными величинами;

• неравносильный переход от одного равенства (неравенства) к другому;

• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

• неверно построенные чертежи и сделанные по ним выводы.

Составили памятку по разбору софизмов и сравнительную таблицу (Приложение 5).

Выводы: В ходе практической части мы выяснили, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Научились различать математические софизмы на арифметические, алгебраические, геометрические и логические.

Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как международное право, банковское дело, оборона, внешняя и внутренняя разведка, защита информации. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики.

Я считаю, наш проект актуален и имеет практическое применение.

Результат работы. Выводы. Заключение

Разнообразных, простых и замысловатых софизмов и парадоксов в математике огромное множество. В своей работе мы рассмотрели небольшую их часть. Но уже сейчас мы можем с уверенностью сказать, что некоторые из них останутся в истории и на их основе будут рождаться все новые и новые софизмы и парадоксы. Работа по решению софизмов и парадоксов развивает логическое мышление. Не обладая логическим мышлением, человек может чувствовать, что или он сам, или кто-то другой рассуждает неправильно. Но в чем ошибка? Как найти ошибку в обосновании какого-либо положения? Более того, как доказать, что противоположная сторона ошибается? Ведь простое утверждение: «Вы ошибаетесь» – никого не убедит. Нужно указать, в чем человек ошибается. Изучение логики не только помогает убеждать людей в ошибочности их рассуждений, но и ускоряет нахождение ошибок в рассуждениях. Изучив типичные ошибки и приобретя навыки их обнаружения, их замечают мгновенно, почти автоматически [4]. Являясь теоретической наукой, логика объясняет, почему тот или иной способ рассуждения является правильным или неправильным, что дает возможность анализировать способы рассуждения, с которыми ранее человек даже не встречался.

Выводы: математические софизмы и парадоксы имеют будущее, они могут найти применение на уроках математики при изучении различных тем, а также их можно использовать для сценариев КВН, проведения различных математических соревнований, олимпиад, конкурсов, капустников.

Было бы здорово, если бы в школьном расписании были уроки логики. Логика развивает мышление. Решение парадоксов и софизмов тренируют наш мозг, то есть гипотеза доказана.

Парадоксы и софизмы являются тренировкой для ума.

Анкетирование одноклассников и ребят из 6 класса показало, что 77 % ребят хотят, чтобы изучение парадоксов входило в школьную программу. В.А. Сухомлинский писал: «Я стремился к тому... чтобы законы мышления дети осознавали, как стройное сооружение, архитектура которого подсказана еще более стройным сооружением – природой». Практический результат работы – небольшая юмористическая математическая сценка, на ближайшем утреннике в классе мы ее разыграем с одноклассниками, кроссворд, сводная информация о софистах и их трудах, сборник софизмов и парадоксов, памятка по разбору софизмов. Работа над софизмами и парадоксами – это тренировка ума, мышления и логики. Она способствует развитию мозговой деятельности. Изучить логику для практических целей вполне возможно каждому. Для подтверждения этого приведем высказывание Д.С. Милля: «Когда я принимаю в соображение, как проста теория умозаключения, какого небольшого времени достаточно для приобретения полного знания ее принципов и правил и даже значительной опытности в их применении, я не нахожу никакого извинения для тех, кто, желая заниматься с успехом каким-нибудь умственным трудом, упускает это изучение. Логика есть великий преследователь темного и запутанного мышления; она рассеивает туман, скрывающий от нас наше невежество и заставляющий нас думать, что мы понимаем предмет, в то время, когда мы его не понимаем» [4]. В наше динамическое время высока потребность в эрудированных, логически продвинутых, предприимчивых, деловых, компетентных специалистах в той или иной сфере общественной, политической, экономической, социальной и производственной деятельности. Уверена, полученные мною знания мне пригодятся. В дальнейшем я буду продолжать постигать мир логики.

Приложение 1

Сценка «3=2, а 4=5» Вариант 1

Встречаются два друга.

Вова: Дим, здорово!

Дима: Привет, Вова. Как дела, как день провел?

Вова: Пойдет. А что это ты такой весёлый?

Дима: Да, я сегодня тройку по математике получил!

Вова: Нашел, чему радоваться. Вот если бы четверку или пятёрку, а то тройку... А знаешь ли ты, что всякая тройка равна двойке?

Дима: Тройка равна двойке? Не может быть!

Вова: А я тебе сейчас это докажу.

Дима: Вот насмешил – докажу! Ты попробуй, докажи! А если не докажешь, сникерс подаришь.

Вова: А если докажу, то сникерс мой.

Итак……

Ты, конечно, не будешь отрицать, что

.

или можно записать так

Поэтому из

следует

или

,

следовательно, 3=2. Вот и всё доказательство. Гони сникерс.

Дима: Вот это да! На, держи (передает другу сникерс).

Вова: Ну ладно, мне некогда. Пока.

Дима: Пока.

Прошло несколько дней, и опять встретились два друга Дима и Вова.

Дима: Привет, Вова.

Вова: Привет, ты всё веселишься?

Дима: Как же мне не веселиться, я сегодня пятёрку по математике получил. Хочешь, дневник покажу?

Вова: Покажи. (Смотрит дневник) Послушай, но ведь здесь стоит четвёрка, а не пятерка.

Дима: (Хихикает) а разве ты не знаешь, что всякая четвёрка равна пятёрке? Я тебе сейчас это докажу. Готовь сникерс.

Ты, конечно, не будешь отрицать, что

.

Вова: Нет, а что?

Дима: Прибавим к обеим частям равенства по 20 целых и , получим:

следует, что

по формуле сокращенного умножения

а из .

Отсюда имеем

или 4=5

Вова: Молодец! Держи, сникерс твой.

Конечно, производя вычисления, и Вова, и Дима допустили ошибки, но сценка удалась.

(Ошибка: из равенства квадратов следует равенство их оснований по модулю, а не просто оснований. В первой скобке под знаком квадрата стоит отрицательное число, а во второй – противоположное ему положительное. Их модули равны, а сами числа нет.)

Сценка «3=2, а 4=5» Вариант 2

Встречаются два друга.

Вова: Дим, здорово!

Дима: Привет, Вова. Как дела, как день провел?

Вова: Пойдет. А что это ты такой весёлый?

Дима: Да, я сегодня тройку по математике получил!

Вова: Нашел чему радоваться. Вот если бы четверку или пятёрку, а то тройку... А знаешь ли ты, что всякая тройка равна двойке?

Дима: Тройка равна двойке? Не может быть!

Вова: а я тебе сейчас это докажу.

Дима: Вот насмешил – докажу! Ты попробуй, докажи! А если не докажешь, сникерс подаришь.

Вова: А если докажу, то сникерс мой.

Ты, конечно, не будешь отрицать, что

заменяем на

значит 3=2 . . ...

Вот и всё доказательство. Гони сникерс.

Дима: Вот это да! На, держи (передает другу сникерс).

Вова: Ну ладно, мне некогда. Пока.

Дима: Пока.

Прошло несколько дней, и опять встретились два друга Дима и Вова.

Дима: Привет, Вова.

Вова: Привет, ты всё веселишься?

Дима: Как же мне не веселиться, я сегодня пятёрку по математике получил. Хочешь, дневник покажу?

Вова: Покажи. (Смотрит дневник) Послушай, но ведь здесь стоит четвёрка, а не пятерка.

Дима: (Хихикает) а разве ты не знаешь, что всякая четвёрка равна пятёрке? Я тебе сейчас это докажу. Готовь сникерс.

Ты, конечно, не будешь отрицать, что .

Вова: Нет, а что?

Дима: смотри, что я делаю, выношу общий множитель за скобку

Получаю

,

то есть 4=5, что и требовалось доказать

Вова: Молодец! Держи, сникерс твой.

Конечно, производя вычисления и Вова, и Дима допустили ошибки, но сценка удалась.

(Ошибка заключается в том, что общий множитель (3+2–5) и (5 + 2 – 7) равен 0, а делить на 0 нельзя).

Приложение 2

Опыт 1. «2+2=5»

Берем две отдельные веревки, на каждой из них вяжем по два узла. Связываем эти две веревки одним узлом. В итоге у нас получилась одна веревка с пятью узлами. Отсюда следует доказательство, что .

Опыт 2. «Загадочное исчезновение»

На прямоугольном куске картона начертим 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга. Разрежем прямоугольник по прямой, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. Теперь сдвинем одну из половин, при этом вторую оставив на месте. Проделав это, мы можем увидеть любопытное явление: вместо 13 палочек перед нами оказываются лишь 12! Одна палочка исчезла беседно. Давайте подумаем, куда она делась.

Итак, если сопоставить изначальные и получившееся длины палочек, то можно обнаружить, что вторые на длиннее первых. Исчезнувшая 13 палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в 12 остальных, удлинив каждую из них на своей длины. Геометрическую причину этого понять очень легко. Прямая, по которой мы разделили прямоугольник (назовем ее MN), и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки ее длины, от третьей , от четвертой и т. д. Когда же мы сдвигаем обе части картона, то приставляем отсеченный отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на , то каждая палочка должна удлиниться на своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13 палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

Приложение 3

Кроссворд «А разве сама жизнь не парадокс?»

По горизонтали:

1. Наука о правильном мышлении, исследующая общезначимые формы и средства мысли; является основой логического (дискурсивного) познания.

2. Какой Древнегреческий софист, родом из Абдер, объявил, что люди являются мерилом всего. Все, что мы говорим об истине – это всего лишь чье-то мнение.

3. Кто из древнегреческих мыслителей называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Фраза которого была: «Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях.»

4. Наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

5. Автор строк: «А разве сама жизнь не парадокс?»

8. Каким термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным утверждение.

По вертикали:

3. Древнегреческий философ софист, по свидетельству Ксенофонта, оппонент Сократа.

6. Древнегреческий философ-софист, утверждающий, что «не существует ничего».

Истинного знания не существует, ведь даже то, что мы лично пережили, мы припоминаем и познаем с трудом; нам следует довольствоваться правдоподобным мнением

7. Вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности

9. Автор строк: «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы – прекрасный человек!»

10. Ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения

11. Древнегреческий философ, ученик Парменида, представитель Элейской школы, автор многочисленных апорий, среди которых апория Ахиллес и черепаха.

2.

По горизонтали:

1. Автор строк: «А разве сама жизнь не парадокс?»

2. Кто из древнегреческих мыслителей называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Фраза которого была: «Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях.»

3. Древнегреческий философ-софист, утверждающий, что «не существует ничего». Истинного знания не существует, ведь даже то, что мы лично пережили, мы припоминаем и познаем с трудом; нам следует довольствоваться правдоподобным мнением

4. Наука о правильном мышлении, исследующая общезначимые формы и средства мысли; является основой логического (дискурсивного) познания.

5. Какой Древнегреческий софист, родом из Абдер, объявил, что люди являются мерилом всего. Все, что мы говорим об истине – это всего лишь чье-то мнение.

6. Древнегреческий философ софист, по свидетельству Ксенофонта, оппонент Сократа. логического объяснения

7. Ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет

15. Крупнейший позднеантичный ритор, представитель младшей софистики, один из учителей Иоанна Златоуста, схоларх (руководитель риторической школы) в Антиохии.

16. Древнегреческий философ, ученик Парменида, представитель Элейской школы, автор многочисленных апорий, среди которых апория Ахиллес и черепаха

По вертикали:

8. Вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности.

9. Каким термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным утверждение.

10. Наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

11. Древнегреческий философ, автор строк: «любое знание есть добро; любое зло, порок совершается от незнания».

12. Автор строк: «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы – прекрасный человек!»

13. Древнегреческий философ-идеалист, представитель мегарской школы, известен своими парадоксами или «апориями» («Лжец», «Куча», «Плешивый», «Рогатый» и др.

14. Древнегреческий софист -учитель спора, автор строк: «Удвоенное желание есть страсть, удвоенная страсть становится безумием. Из всех приправ самая лучшая – огонь. Человеческая жизнь неизбежно исполнена многих страданий».

17. Греческий философ-поэт, представитель второй софистики, автор сочинения «Биография софистов».

3.

По горизонтали:

1. Автор строк: «А разве сама жизнь не парадокс?»

2. наука о правильном мышлении, исследующая общезначимые формы и средства мысли; является основой логического (дискурсивного) познания.

3. Древнегреческий философ-софист, утверждающий, что «не существует ничего». Истинного знания не существует, ведь даже то, что мы лично пережили, мы припоминаем и познаем с трудом; нам следует довольствоваться правдоподобным мнением

4. Каким термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным утверждение.

5. Какой Древнегреческий софист, родом из Абдер, объявил, что люди являются мерилом всего. Все, что мы говорим об истине – это всего лишь чье-то мнение.

6. Кто из древнегреческих мыслителей называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажется верной и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Фраза которого была: «Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях.»

7. Древнегреческий философ, ученик Парменида, представитель Элейской школы, автор многочисленных апорий, среди которых апория Ахиллес и черепаха

По вертикали:

1. Вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности

2. Наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

3. Древнегреческий философ, автор строк: «любое знание есть добро; любое зло, порок совершается от незнания».

4. Автор строк: «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы – прекрасный человек!»

5. Ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.

Приложение 4

Анкета

(Перед рассказом о софизмах и парадоксах)

1. Укажите в каком классе Вы учитесь_____

2. Укажите ваш пол М/Ж

3. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»? Да/Нет

4. Знакомо ли вам понятия «Софизм», «Парадокс»? Да/Нет

(После рассказа о софизмах и парадоксах)

1. Заинтересовала ли Вас тема о софизмах и парадоксах Да/Нет

2. Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами, парадоксами? Да/Нет

3. Как ты думаешь, для чего нужны софизмы, парадоксы? ________________________

4. Хотел бы ты больше узнать о софизмах, парадоксах? Да/Нет

5. Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами, парадоксами? ______________

Результат обработки анкет:

Было обработано 40 анкет

Из них, учащихся 5 класса – 15; мальчиков – 7, девочек – 8

учащихся 6 класса – 25; мальчиков – 12, девочек – 13

3. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»? Да 30 /Нет 10

4. Знакомо ли вам понятия «Софизм», «Парадокс»? Да 28 /Нет 12

(После рассказа о софизмах и парадоксах)

1. Заинтересовала ли Вас тема о софизмах и парадоксах Да 30 /Нет 10

2. Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами, парадоксами? Да 31 /Нет 9

3. Как ты думаешь, для чего нужны софизмы, парадоксы? развитие логики, ума, улучшает память, чтобы запутать человека и выиграть спор, обмануть по закону, не знаю, для решения задач, для размышления, для красноречия, для розыгрыша, для логики, развитие интеллекта, чтобы доказать, что у всех правил есть исключения, развитие мышления, для успехов в учебе.

4. Хотел бы ты больше узнать о софизмах, парадоксах? Да 27 /Нет 13

5. Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами, парадоксами?

Ответы. Они могут помочь в сложных ситуациях, помогут развить логику и мышление, добиться всего, не знаю, для хорошей работы мышления и мозга, разовьют мышления и высказывания, смогу решать математические задачи, запас лексикона, узнать больше нового, буду мыслить логично, не как все, умение отстоять свою позицию, не чего хорошего, никакую, для изучения будущей профессии, не знаю, поставить одноклассников на место, выиграть в спорах, узнаю что то важное.

Приложение 5

Памятка по работе с математическими софизмами в школе, разбор и поиск ошибок

Для развития логического мышления софизмы можно применять при изучении математики в школе на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций; в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках; при проведении различных математических соревнований, для разнообразия; на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

После анализа литературы, мы смогли выделить следующие этапы работы с софизмами на уроках математики:

Знакомство с «бытовыми софизмами»

На данном этапе ведется анализ рассуждений, которые могут привести к ложным выводам. Работу по реализации данного этапа необходимо начинать со II класса. Примерами софизмов могут быть следующие цепочки рассуждений: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит» или: «Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения»

Развитие навыков по классификации софизмов

На этом этапе мы учимся классифицировать софизмы.

Алгебраические софизмы – это софизмы, алгебраические ошибки в которых скрыты, «завуалированы» в уравнениях и числовых выражениях. (Алгебра – один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.

Например: «Все числа равны между собой».

Возьмём два разных числа, такие что:

Тогда существует такое , что:

Умножим обе части на , имеем:

Раскрываем скобки, имеем:

cb переносим вправо, имеем:

Ошибка:

По определению:

Значит,

И выражение

Тождественно

Арифметические софизмы – это софизмы, в числовых выражениях которых, имеется неточность или ошибка, не заметная с первого взгляда. (Арифметика – (греч. arithmetika, от arithmys – число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними).

Например: .

Решение:

Пусть исходное соотношение – очевидное равенство:

(1)

Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (1) равенства, и мы получим:

(2)

Разложим число 4 на произведение 2•2

(3)

Наконец, зная, что , мы из соотношения (2) устанавливаем: .

Ошибка:

Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение (2). Такая ошибка разрешается достаточно легко – нужно лишь произвести вычитание одного из другого, что выявит неравенство двух этих числовых значений. Также опровержение возможно записью через дробь.

Также можно рассмотреть следующее доказательство софизма

Дважды два равно пять.

А именно, имеем равенство:

(1)

Прибавим к левой и правой части :

. (2)

Преобразуем выражение:

(3)

Теперь можно заметить, что в левой и правой части выражения (3) записаны произведения вида:

то есть, квадрат разности: . В нашем случае слева

,

а справа . Поэтому перепишем выражение (3) в виде квадратов разности:

. (4)

А следовательно,

. (5)

И наконец, получаем долгожданное равенство: , или, если угодно, .

Ошибка. В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4–9/2 равно -1/2, а 5–9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.

Геометрические софизмы – это софизмы, которые обосновывают какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Например: «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра».

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Ошибка. Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Софизм «Cпичка длиннее, чем телеграфный столб, причем вдвое».

Разбор софизма: Длину спички будет обозначать a, длину столба – b. Разность между этими величинами – c. получается, что . Если данные выражения перемножить, получится следующее: . При этом из обеих частей выведенного равенства возможно вычесть составляющую bc. Получится следующее:

,

или

.

Откуда , но , поэтому , или . То есть спичка и правда вдвое длиннее столба. Ошибка в данных вычислениях заключается в выражении которое равно нулю.

Логические софизмы – игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Например: «Арбуз – планета» (Земля, Марс и т.д. – круглые. Значит, все планеты круглые. Арбуз тоже круглый, значит арбуз – планета?).

Логические софизмы – софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.

Например: «Полупустое тоже, что и полуполное»

Доказательство: Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

(Ошибка: полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.) [1].

Софизмы иногда кажутся настолько случайными и несерьезными, что некоторые философы и ученые относили их к шуткам. Так, известный немецкий историк философии В. Виндельбанд, писал: “Тот большой успех, каким пользовались эти шутки в Греции, особенно в Афинах, обусловливается юношеской склонностью к остроумным выходкам, любовью южан к болтовне и пробуждением разумной критики повседневных привычек”.

Многие софизмы выглядят как лишенная цели и смысла игра с языком. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Вот, например, Платон описывает, как два софиста запутывают простодушного человека по имени Ктесипп.

– Скажи-ка, есть ли у тебя собака?

– И очень злая, – отвечал Ктесипп.

– А есть ли у нее щенята?

– Да, тоже злые.

– А их отец, конечно, собака же?

– Конечно.

– И этот отец тоже твой?

– Конечно.

– Значит, ты утверждаешь, что твой отец – собака и ты брат щенят![3]

Смешно, правда?!

Или софизм «глаза не нужны для зрения»

Доказательство: закрыв любой из глаз, мы продолжаем видеть.

Или такое рассуждение:

“Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно ни мыслить, ни говорить”.

В софизмах часто обыгрывается тема недопустимости противоречий в мышлении.

Например:

– Скажи, – обращается софист к молодому любителю споров, – может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?

– Очевидно, нет.

– Посмотрим. Мед сладкий?

– Да.

– И желтый тоже?

– Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?

– Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый – это сладкий или нет?

– Конечно, нет. Желтый – это желтый, а не сладкий.

– Значит, желтый – это не сладкий?

– Конечно.

– О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

Софисту, конечно, не удалось доказать, что мед имеет противоречащие друг другу свойства, являясь сладким и несладким вместе. Подобные утверждения невозможно доказать: они несовместимы с логическим законом противоречия, говорящим, что высказывание и его отрицание («мед сладкий» и «мед не является сладким») не могут быть истинными одновременно.[4]

Отличительной особенностью софизма является его двойственность, наличие, помимо внешнего, еще и определенного внутреннего содержания. В этом он подобен символу и притче.

Подобно притче, внешне софизм говорит о хорошо известных вещах. При этом рассказ обычно строится так, чтобы поверхность не привлекала самостоятельного внимания и тем или иным способом – чаще всего путем противоречия здравому смыслу – намекала на иное, лежащее в глубине содержание. Последнее, как правило, неясно и многозначно. Оно содержит в неразвернутом виде, как бы в зародыше, проблему, которая чувствуется, но не может быть сколь-нибудь ясно сформулирована до тех пор, пока софизм не помещен в достаточно широкий и глубокий контекст. Только в нем она обнаруживается в сравнительно отчетливой форме. С изменением контекста и рассмотрением софизма под углом зрения иного теоретического построения обычно оказывается, что в том же софизме скрыта совершенно иная проблема.

В русских сказках встречается мотив очень неопределенного задания. «Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю, что». Как это ни удивительно, однако герой, отправляясь «неизвестно куда», находит именно то, что нужно. Задача, которую ставит софизм, подобна этому заданию, хотя и является намного более определенной.[5]

Слово софизм имеет, кроме этого современного и хорошо устоявшегося смысла, еще и иной смысл. В этом другом смысле софизм представляет собой неизбежную на определенном этапе развития теоретического мышления форму постановки проблем. Сходным образом и само слово «софист» означает не только «интеллектуального мошенника», но и философа, впервые задумавшегося над проблемами языка и логики.

Все в истории повторяется, появляясь в первый раз как трагедия, а во второй – как фарс. Перефразируя этот афоризм, можно сказать, что софизм, впервые выдвигающий некоторую проблему, является, в сущности, трагедией недостаточно зрелого и недостаточно знающего ума, пытающегося как-то понять то, что он пока не способен выразить даже в форме вопроса. Софизм, вуалирующий известную и, возможно, уже решенную проблему, повторяющий тем самым то, что уже пройдено, является, конечно, фарсом.

Важно отметить, что существуют специальные правила математической логики, которые являются основными при построении логических выводов.

Например: «Если число делится на 2, то оно – четное. Число 16 делится на 2, значит, оно четное» (правило заключения), «Если число делится на 2, то оно – четное. Число 7 – нечетное, следовательно, оно не делится на 2» (правило отрицания). На этом этапе с помощью простых примеров проводится работа по закреплению данных правил».

Работа по выявлению ошибок в софизмах

На этом этапе строятся цепочки рассуждений, устраняются неточности высказываний, формулируются правильные выводы. Деятельность на данном этапе идет от простейших софизмов к сложным.

Работа по составлению учащимися собственных софизмов

На данном этапе грамотно составить софизм может не каждый ученик. Учителю необходимо поощрять учащихся к этому виду деятельности. Ученики могут предлагать софизмы, которые аналогичны ранее разобранным, но при постоянной работе круг их предложений постепенно расширяется. Приведем пример детского софизма: «Есть ли у тебя то, что ты не терял? Конечно есть. Ты копыта не терял, значит, они у тебя есть».

Для полноценной работы с софизмами на уроках математики мало знать этапы работы с ними, нужно еще и уметь методически верно преподнести их.

Мы можем предложить следующую методику работы по раскрытию софизмов:

1. Для того чтобы решить софизм, необходимо найти ошибку, она в свою очередь и будет являться решением.

Начинать поиск ошибки стоит с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах ложный результат, получается, из-за неполных или противоречивых данных в условии, не верного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно.

При разборе софизмов мы выделили ряд основных тщательно замаскированных ошибок в софизмах:

• деление на 0;

• неправильные выводы из равенства дробей;

• нарушения правил действия с именованными величинами;

• неравносильный переход от одного равенства (неравенства) к другому;

• неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

• проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

• неверно построенные чертежи и сделанные по ним выводы.

Например, такая задача:

«Маме 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет мама будет в 10 раз старше сына?»

Решение: пусть х – лет искомый срок, тогда маме будет лет, сыну лет. Составляем уравнение и решаем его:

Таким образом, через –2 года мама будет в 10 раз старше сына. Так как по смыслу задачи x. лжно быть больше нуля, то полученный результат вызывает недоумение.

Уравнение само по себе составлено и решено верно, ошибка заключается в некорректной постановке вопроса. Это как раз тот самый случай, когда задача «думает» за нас.

2. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях.

3. Воспроизвести точные формулировки утверждений, используемых в софизме.

4. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул.

5. «Правило портного».

Вручную обычно иглой шов делается так: стежок вперёд и назад, ещё вперёд и сва назад и т.д.

оверять преобразования нужно также, как портной делает шов. После каждого перехода надо «оглянуться назад», проверить полученный результат обратным действием.

Рассмотрим софизм «2 • 2 = 5»:

Ошибку можно быстро обнаружить, если после вынесения «общего множителя за скобку» выполнить обратную операцию и внести 4 и 5 за скобки.

6. «Правило программиста».

Работа блоками. Невозможно отлаживать программу в целом. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока. Предложенные рекомендации с одной стороны помогут ученикам при разборе софизмов, с другой стороны будут способствовать обогащению набора приёмов самопроверки и самоконтроля. Работа с софизмами требует тщательной дополнительной подготовки, умения «держать» и вести слушающих в нужном направлении, так как выстроить логическую цепочку рассуждений может не каждый. Как показывает опыт, занятия с использованием математических софизмов могут проходить очень интересно.

Приложение 6

Примеры софизмов и парадоксов.

Софизм «»

Возьмём числовое тождество:

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем

(Ошибка заключается в том, что общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

Софизм «1=2»

Прибавим к обеим частям равенства по , получим

или

отсюда следует, что

или

(Ошибка в том, что квадраты противоположных чисел равны, но отсюда не следует, что равны сами числа, то есть положительное число не равно отрицательному).

Софизм учебы

Песенка – софизм, сочиненная английскими студентами:

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Перевод

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Софизм «1 рубль не равен 100 копейкам»

Возьмем верное равенство:

1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:

1 р. = 10000 к.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

(Ошибка заключается в том, что возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

Софизм «6 кг=6000000 г».

2 кг=2000 г и 3 кг=3000 г.

Перемножу почленные равенства, получу ,

т.е 6 кг=6000000 г.

Ошибка заключается в том, что действия над величинами не имеют смысла).

Софизм «Когда же учиться?»

По ночам занятий нет, половина суток свободна. Остаётся:

дня.

В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна. Остаётся:

дней.

В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится 15 дней, таким образом выходных в учебном году дней.

Итого остается 137–37=100 дней.

Но есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние (7 дней), летние (78 дней).

Всего 5+10+7+78=100 дней.

Итак, школьники заняты в году

100–100=0 дней.

Когда же учиться?

Софизм «2•2=5»

У нас есть верное числовое равенство: .

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: .

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или 2•2=5.

(Ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

Софизм «Рогатый»

Что ты не терял – то имеешь. Рога ты не терял; значит у тебя рога.

Этот софизм наивен и несерьезен, понятно, что он не убедит даже школьника. Но он оттачивает красноречие. Этот софизм заставляет искать аргументы для его опровержения.

Софизм Кратила

Диалектик Гераклит, провозгласив тезис «все течет», пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

Софизм Эватла

Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что внесет плату за обучение тогда, когда после окончания школы выиграет свой первый процесс. Школу он окончил, время шло, но он и не думал браться за ведение процессов и, вместе с тем, считал себя свободным от уплаты за учебу. Тогда Протагор, разозлившись, пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл ему заплатит, если судьи приговорят к оплате, то в силу решения суда, если не присудят, то по их договору. Однако, Эватл возразил, что не станет платить в любом случае: если присудят к уплате, то процесс будет проигран, и согласно их условию, платить не будет. А если не присудят, то уже из-за судейского вердикта.

Софизм «Ты не человек»

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Софизм «Гостиница»

В небольшую гостиницу, в которой было 12 свободных номеров, прибыли 13 постояльцев, каждый из которых хотел получить отдельный номер. Однако хозяин не смутился и обещал удовлетворить всех гостей. Для этого он попросил тринадцатого гостя временно посидеть в первом номере, – в итоге в первом номере оказалось два человека, затем он поселил третьего гостя во второй номер, четвертого – в третий, и так дошел до одиннадцатого номера, куда был поселен двенадцатый гость. После этого хозяин вернулся в первую комнату и проводил тринадцатого гостя в двенадцатую комнату – все постояльцы оказались поселены по одному. Как же это получилось?

Наше рассуждение: Нарисуем двенадцать прямоугольников, каждый из которых обозначает один номер, заселим в них людей, как написано в парадоксе. В условие сказано, что все гости расселились, но на самом деле второй гость оказался не заселенным.

Софизм «Вор»

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Парадокс Лжеца – «король парадоксов»

Парадокс Лжеца был открыт в Древней Греции, но актуальность не потерял и в наши дни.

– Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ.

– То, что сказал Сократ – истина, – говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь? В простейшем варианте данного парадокса человек произносит всего одну фразу:

«Я лгу».

Действительно, истинно или ложно высказывание: «Я лгу»? Рассуждения по данному высказыванию идут по кругу. По другому, эти рассуждения называют «бесконечный спуск».

Парадокс лжеца произвел громадное впечатление на греков. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда абсолютно прост: лжет ли тот, кто говорит о том, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет». И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой вопроса открывается неясная и неизмеримая пустота.

Парадокс о бегуне Ахилле и черепахе

Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него. К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперед на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. Черепаха: «Где тебе догнать меня, старина! Каждый раз, когда ты добежишь до того места, где я была, я успею уползти на какое-то расстояние вперед, хоть на толщину волоса!»

То есть какое бы расстояние ни оставалось между Ахиллом и черепахой, на преодоление этого расстояния, разумеется, потребуется некоторое время, а за это время черепаха продвинется еще вперед. В этой логике нет изъяна, но она самым очевидным образом противоречит нашему опыту.

Парадокс «Не знаешь то, что знаешь»

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» – «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» – «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Парадокс «Лекарства»

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Парадокс «Мудрец на необитаемом острове»

Хорошо известна следующая легенда: один мудрец, оказавшийся на необитаемом острове, сказал, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Проанализируйте данную ситуацию и скажите, пожалуйста, можно ли её назвать парадоксальной и почему?

(Можно. Если все люди, находящиеся на острове, лжецы, а сам мудрец тоже находится на острове, то и он лжец. Другими словами, то, что он сказал, неправда. Следовательно, не все люди, находящиеся на острове, лжецы, но так как на острове всего один человек – мудрец, то он не лжец и сказал правду, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Но тогда мудрец тоже лжец, следовательно, он сказал неправду, поэтому он не лжец, т.е. то, что он сказал, правда и т.д. и т.д. Понятно, что так можно рассуждать бесконечно долго).

Парадокс «Два слова, спасшие жизнь»

Рассказывают, что во время франко-прусской войны произошёл следующий любопытный случай.

Один французский офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено отдать под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью.

Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был покориться своей участи, судьям пришло в голову оказать осуждённому снисхождение, правда, несколько странного свойства.

– Вам, молодой человек, – сказали они офицеру, – предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешение, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную правду, или явную ложь. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.

Всё это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но … странное дело! По мере того, как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснялось всё более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнёс ….

Судьи своим решением создали парадоксальную ситуацию.

Офицер понял это и произнёс два слова:

– Меня расстреляют!

– Ну и что же? Что вы хотите этим сказать? – спросили судьи с недоумением.

– Только то, что вы потребовали от меня! – ответил молодой человек. – Я сказал фразу, а что она в себе заключает – правду или неправду – я предоставляю судить вам! Но предупреждаю вас, господа судьи, что, какой бы род казни вы ни применили ко мне, теперь вы всё равно окажетесь глубоко неправыми и несправедливыми судьями, не умеющими держать своё слово.

Дерзкая речь француза задела за живое судей. Но офицер поспешил пояснить сказанное.

– Я сказал: “Меня расстреляют”. Следовательно, если вы меня повесите, то окажется, что я сказал неправду, а за неправду вы же сами обещали меня расстрелять. Если же вы решите меня подвергнуть расстрелу, то окажется, что я сказал правду, а за правду меня следовало, согласно вашему же условию, повесить. Ясно, что и в том, и в другом случае вы будете неправы, но … я к вашим услугам!

Судьи настолько были поражены простой, логичной и остроумной речью молодого французского офицера, что, из уважения к его уму, единогласно решили его помиловать.

Парадокс «Генерал и брадобрей»

Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей?

Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют. Если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Парадокс Эпименида

Критянин Эпименид сказал: «Все критяне лжецы».

Он сам критянин, соответственно лжец. Если он лжец, значит, он врет и все критяне не лжецы, т е правдивы. Но если он, как и его народ, правдив, то его утверждение верно. Следовательно, все критяне лжецы. Так можно продолжать еще очень долго, а правды так и не выяснить.

Парадокс «Сапожник и лишний талер»

Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талера. Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле – каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера. Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги – каждому по одному талеру. Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан. Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: . Значит, сапоги стоили 23 талера: . И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: . Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Разбор парадокса: Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода – тогда остался бы «чтый» доход, т.е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Парадокс «Завещание»

Эта старинная задача была известна ещё в Древнем Риме. Богатый сенатор, умирая, оставил жену в ожидании ребёнка. После смерти сенатора выяснилось, что на своё имущество, равное 210 талантам, он составил следующее завещание: «В случае рождения сына отдать мальчику две трети состояния (т.е. 140 талантов), а остальную треть (т.е. 70 талантов) – матери; в случае же рождения дочери отдать девочке одну треть состояния (т.е. 70 талантов), а остальные две трети (т.е. 140 талантов) – матери». У вдовы сенатора родились близнецы – мальчик и девочка. Такой возможности завещатель не предусмотрел. Как можно разделить имущество между тремя наследниками с наилучшим приближением к условию завещания?

Разбор парадокса: Поскольку все требования завещателя выполнить невозможно, придётся выполнять только часть из них. В зависимости от того, какую именно часть мы выполним, получим тот или иной ответ. Вариантов много. Например: 1) из первого условия завещания следует, что сын должен получить 2 3 состояния, а из второго – что дочь должна получить в два раза меньше матери; 2) из первого условия завещания следует, что доля матери в 2 раза меньше доли сына, а из второго – что эта доля в 2 раза больше доли дочери; 3) в каждом из условий доля матери не меньше 1 3 , при этом доля сына в 4 раза больше доли дочери. Можно предложить и другие варианты. Эта задача возникла из практики. Такой случай действительно произошёл в Древнем Риме. Там суд разделил наследство так, как предложено во втором варианте: отдал сыну 4 7 состояния, матери – 2 7 , дочери – 1 7 , т.е. 120 талантов сыну, 60 – матери, 30 – дочери.

Парадокс «100 рублей»

Заходит в магазин покупатель, выбирает товар стоимостью 20 рублей, даёт продавцу сторублёвку. Смотрит продавец – нету сдачи. Пошёл в соседний отдел, разменял сотню. Отдал покупателю товар и сдачу. Ушёл покупатель. Вдруг прилетает продавец из соседнего отдела, приносит ту сотню. Фальшивка! Отдал наш продавец ему свою сотню. На сколько в итоге прогорел наш горе-продавец?

Разбор парадокса: Продавец дал покупателю товара и сдачи на сумму 100 руб., да ещё второму продавцу заплатил 100 руб., но и от второго продавца он предварительно получил 100 руб. Так что вся пропажа – 100 руб. Можно решить и по-другому. Покупатель, фактически, «недодал» продавцу 100 руб. На эти-то 100 руб. и погорел продавец.

Парадокс «Года»

Коля однажды сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году исполнится 13». Может ли так быть?

Разбор парадокса: Если в будущем году Коле исполнится 13 лет, значит, в нынешнем ему 12, а в прошлом году было 11 лет. Но поскольку позавчера Коле было 10, то единственный день, когда ему могло успеть исполниться 11 (в прошлом году) – это вчера, а именно 31 декабря. Значит, сегодня 1 января, и 31 декабря этого года Коле исполнится 12 лет, а в будущем году – 13.

Парадокс «Лесорубы»

Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить. У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора – 8. Тут к ним подошёл охотник. – Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется. Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! – Ну что ж, садись, чем богаты, тем и рады, – сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл гривенник и полтинник и сказал: – Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили. Прохор говорит: – По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему возражает: – За 12 лепёшек – 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп. Раз у тебя было 8 лепёшек – тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки – мне 20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?

Разбор парадокса: Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор[6].

Приложение 7

СОФИСТЫ

Для софистов характерно:

• критическое отношение к окружающей действительности;

• стремление все проверить на практике, логически доказать правильность или неправильность той или иной мысли; неприятие основ старой, традиционной цивилизации;

• отрицание старых традиций, привычек, правил, основанных на недоказанном знании;

• стремление доказать условность государства и права, их несовершенство;

• восприятие норм морали не как абсолютной данности, а как предмет критики;

• субъективизм в оценках и суждениях, отрицание объективного бытия и попытки доказать то, что действительность существует только в мыслях человека.

Приложение 8

Цитаты и высказывания великих людей

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». (И.П. Павлов).

«Математику уже затем надо учить, что она ум в порядок приводит» (М.В. Ломоносов).

«Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей». (Р. Декарт)

«Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность». (П.Л. Чебышев)

«…Нельзя быть математиком, не будучи в тоже время поэтом в душе» (С.В Ковалевская).

«Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». (Роджер Бэкон)

«Полет – это математика» (В.П. Чкалов).

«Умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления». (В.А. Сухомлинский)

«Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математике дисциплинировать ум». (В. Шрадер)

«Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях». (Аристотель)

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе». (М.И. Калинин)

Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива». (Р. Петер)

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным» (Б. Паскаль)

«Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим». (Бертран Рассел)

«Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется». (И. Гете)

«Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым». (А.П. Конфорович)

«В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками». (И. Ньютон)

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и далее подтвердить это, что, следуя этому методу, мы достигнем цели». (Г. Лейбниц)

«Решайте задачи и не бойтесь трудностей. Преодоление их вам доставит не только глубокое удовлетворение, но и большую радость, так как «в математике есть своя красота, как в поэзии и музыке» (Н.Е. Жуковский).

«Пусть не читает меня в основаниях моих тот, кто не математик» (Леонардо да Винчи)

«Приобретай в юности то, что с годами возместит тебе ущерб, причиненный старостью. И, поняв, что пищей старости является мудрость, действуй в юности так, чтобы старость не осталась без пищи» (Леонардо да Винчи).

«Спокойной скромности утверждений обыкновенно сопутствует истинно научное, а там, где хлестко и с судейскими приемами стараются зажать рот всякому противоречию, – истинной науки нет». (Д.И. Менделеев).

«Нет без явно усиленного трудолюбия ни талантов, ни гениев». (Д.И. Менделеев).

Библиографическая ссылка