Введение

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь) [3]. Актуальность: решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в математике. В период обучения в школе формируются знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Вот почему так важно получить учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и освоить способы его решения на примерах линейных, квадратных уравнений. В своей работе я хочу показать, как можно при помощи некоторых способов быстро и правильно решать уравнения (на примерах линейных, квадратных уравнений), что процесс выполнения математических действий оказывается полезным и интересным занятием.

Цель: расширить знания о способах решения линейных и квадратных уравнений.

Задачи:

1. Систематизировать известные способы решения линейных и квадратных уравнений;

2. Выбрать для себя самые интересные и использовать их на практике.

Объект: способы решения линейных и квадратных уравнений.

Гипотеза: при использовании способов решения линейных и квадратных уравнений расширяется кругозор, упрощается решение уравнений, количество ошибок уменьшается, повышается вычислительная культура учащихся.

Новизна: знакомство с нестандартными способами решения линейных и квадратных уравнений.

Методы исследования. Сбор информации по данной теме в сети Интернет. Систематизация и обобщение материала. Анкетирование. Анализ полученных в ходе исследования данных.

Продукт: буклет «Решить линейные, квадратные уравнения. Легко!»

Практическая значимость: решения линейных и квадратных уравнений с применением способов решения данных уравнений на практике. Данный материал можно использовать на уроках математики и для дополнительного образования. Любой ученик может развить в себе интерес к науке математике через данный материал.

Из истории изучения уравнений

Математики, внесшие вклад в развитие теории уравнений

В школьном курсе математики уравнениям уделяется большое внимание. История изучения уравнений насчитывает много веков. Самыми известными математиками, внесшими вклад в развитие теории уравнений, были:

Архимед (около 287–212 до н. э.) - древнегреческий ученый, математик и механик. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта;

Франсуа Виет жил в XVI в. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики. В частности, он ввел буквенные обозначения коэффициентов уравнения и установил связь между корнями квадратного уравнения;

Леонард Эйлер (1707 – 1783) - математик, механик, физик и астроном. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальных уравнений, геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки.

Лагранж Жозеф Луи (1736 — 1813 гг.), французский математик и механик. Ему принадлежат выдающиеся исследования, среди них - исследования по алгебре (симметрической функции корней уравнения, по дифференциальным уравнениям (теория особых решений, метод вариации постоянных);

Ж. Лагранж и А. Вандермонд - французские математики. В 1771 г. впервые применили способ решения систем уравнений (способ подстановки);

О.И. Сомов – обогатил разные части математики важными и многочисленными трудами, среди них теория определённых алгебраических уравнений высших степеней;

Галуа Эварист (1811—1832 гг.) - французский математик. Основной его заслугой является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н. Абелем, создал теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным;

Несмотря на то, что ученые давно изучают уравнения, науке не известно, как и когда у людей возникла необходимость использовать уравнения. Известно только, что задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали с того времени, как стали людьми. Еще 3 - 4 тысячи лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели решать уравнения. Правило решения этих уравнений, совпадает с современным решением.

Что такое уравнение?

Понятие уравнения

Давая определение уравнению важно отметить, что уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x.

Уравнение— это математическое равенство, вкотором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при ихподстановке впример получилось верное числовое равенство.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, снеизвестной переменнойx, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, илевая часть равнялась правой.

Корень уравнения

Говоря о корне уравнения важно отметить, что значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения [7].

Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Число является корнем уравнения, так как при подставке вместо числа получается верное равенство . Корень уравнения также называют решением уравнения.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Обычно, корень пишется так: x = 3. Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: x1 = 2, x2 = -5.

1. Некоторые уравнения могут быть не решаемы.

Например: 0 · x = 7. Какое бы мы число не подставили вместо x, получить верное равенство не получится. В этом случае в ответе пишется: «равнение не имеет корней».

2. Некоторые уравнения имеют бесконечное множество корней.

Например: y = y. В данном случае решением является любое число, т.е. x ∈ R, x ∈ Z, x ∈ N, где N, Z и R – это натуральные, целые и действительные числа, соответственно.

Линейное и квадратное уравнения

Рассмотри, самые часто встречающиеся уравнения — линейные и квадратные[1].

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так:

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу идва основных правила.

Правило переноса. При переносе изодной части вдругую, член уравнения меняет свой знак напротивоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем стого, что вкаждом уравнении есть левая иправая часть.

Перенесем 3излевой части вправую именяем знак напротивоположный. Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен2.

Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной хстоит числовой коэффициент— 4. Ихобъединяет действие— умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на4. Как это выглядит:

4*x=8|:2

4x/4=8/4

x=2

Важно отметить, что квадратное уравнение выглядит так:

ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Таблица1

Решение неполного квадратного уравнения:

Рассмотрим на конкретных примерах все 3 случая:

1) , 2) , 3) ,

, , ,

, или , ,

=,,

Ответ: . Ответ: . Ответ: .

Таблица 2

Решение квадратного уравнения :

Таким образом, квадратное уравнение может иметь не более двух корней.

Рассмотрим способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение: х2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2* х * 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2* х * 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2* х * 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ? 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах * b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± v b2 - 4ac,

2ax = - b ± v b2 - 4ac

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Работа была выполнена в соответствии с поставленными задачами. Я изучила литературу и интернет-ресурсы по своей теме. Из всех видов линейных и квадратных уравнений я выбрала наиболее распространенные и рассмотрела способы и правила их решения.

Подводя итоги данного исследования, можно сделать следующие выводы:

уравнения представляют интерес для учащихся. При решении уравнений развиваются навыки систематизации, логического мышления, повышаются умственные и творческие способности. Их изучение очень важно в курсах школьной математики, так как примеры, содержащие уравнения, встречаются в повседневной жизни.

В ходе исследования были решены следующие задачи: систематизированы известные способы решения линейных и квадратных уравнений. Цель данной работы выполнена. Материал, приведенный в данной работе, может служить методическим пособием для учителя в работе с учащимися на уроках и факультативах, а также справочным материалом для учеников при самостоятельной подготовке к урокам и проверочным работам.