Введение
Проблема: Необходимость производить расчёт в условиях ограниченного времени.
Актуальность и выбор темы: В наше время математика нужна везде: в магазине, на работе, в учебных заведениях… Этот список можно продолжать долго. Что же лежит в основе математики? Это конечно навыки счета. Для того, чтоб решать задачи наиболее эффективно, необходимо решать быстро.
Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете)
«Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)
Цель: Освоить навыки быстрого счета
Задачи:
1. История счета
2. Узнать информацию о способах быстрого счета;
3. Примеры расчета;
4. Сравнение способов быстрого счета;
5. Использовать в практике;
6. Составить полезные советы;
7. Рассказать другим.
История счета
Сначала у людей образовалось понятие "один" и "много", а лишь потом понятия "два", "три" и т.д. Для облегчения счета и для запоминания его результатов придумано множество приспособлений. Первое из них - пальцы собственных рук, которые загибают при счете. Но так можно подсчитать только небольшие числа предметов. А ведь пальцы приходится потом и разгибать, ведь не только для счета они нужны. А если нужно запомнить результаты вычислений или подсчитать число предметов большее, чем пальцев рук? Для этого древние люди делали насечки на дереве, камне или кости.
Для длительного запоминания результатов счета применяли зарубки, узелки, камешки (калькули - их латинское название, откуда происходит слово калькулятор - приспособление для счета). В Древней Греции и в Риме использовали счетный прибор – абак. Он представлял собой набор костяшек, перемещающихся в полозковых углублениях абака - пластины из бронзы, слоновой кости, камня.
Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.
К основным способам быстрого счета относятся: сложение/вычитание по разрядам, группировка чисел, круглое число. Рассмотрим подробно каждый из них.
1) Сложение по разрядам:
Задача№1:
Мама попросила купить пачку сосисок которые стоят 184 руб. и кг свинины который стоит 515 руб. Сколько для этого понадобиться денег?
Для суммирования чисел по разрядам необходимо разбить их на разрядные части, а потом сложить между собой
184+515
184=100+80+4
515=500+10+5
184+515=(100+80+4)+(500+10+5)=(100+500)+(80+10)+(4+5)=
=600+90+9=699
Задача №2:
Папа попросил купить пачку макарон которые стоят 253 руб. и кг яблок которые обошлись в 447 руб. Сколько для этого понадобиться денег?
253+447
253=200+50+3
447=400+40+7
253+447=(200+50+3)+(400+40+7)=(200+400)+(50+40)+(3+7)=
=600+90+10=700
Данный способ быстрого счета больше подходит для сложения разрядов, дающих в сумме не более 9. К недостаткам данного способа можно отнести, что при переходе через разряд, могут возникнуть трудности.
Пример:
459+399
459=400+50+9
339=300+90+9
459+399=(400+50+9)+(300+90+9)=(400+300)+(50+90)+(9+9)=700+140+18=
=858
2) Вычитание по разрядам
Задача№1
Вы пришли в магазин. Вся покупка составила 586 руб. На накопительной карте имеется имеется уже 235 бонусов (235 руб.) которые вы желаете потратить, а остальное заплатить наличными. Сколько вам для этого понадобиться?
Для вычитания по разрядам необходимо разбить на разрядные части, а потом вычесть между собой.
586-235
586=500+80+6
235=200+30+5
586-235=(500+80+6)-(200+30+5)=(500-200)+(80-30)+(6-5)=
=300+50+1=351
Задача№2
Ваша покупка составила 984 руб. На накопительной карте имеется уже 562 бонуса (562руб.), которые вы желаете потратить, а остальное заплатить наличными. Сколько для этого понадобиться денег?
984-562
984=900+80+4
562=500+60+2
984-562=(900+80+4)-(500+60+2)=(900-500)+(80-60)+(4-2)=
=400+20+2=422
Данный способ быстрого счета больше подходит, если разряд в уменьшаемом больше, чем в вычитаемом. В случае если разряд в уменьшаемом меньше, чем разряд в вычитаемом приходится брать 1 у большего разряда.
Пример:
365-229
365=300+60+5
229=200+20+9
365-229=(300-200)+(50-20)+(15-9)=100+30+6=136
3) Группировка чисел
Задача№1
Карманных денег в первую неделю дали 54 руб., во вторую 71 руб. в третью 46 руб. в четвертую 29.
Необходимо подсчитать сколько карманных денег мне дали.
Для сложения чисел применяем переместительное и сочетательное свойство
54+71+46+29=(54+46)+(71+29)=100+100=200
Задача№2
В первый день дали 14 руб во второй 12 в третий 38 в четвертый 26 в пятый 60, а в шестой 50. Сколько всего денег дали?
14+12+38+26+60+50=(14+26+60)+(12+38+50)=100+100=200
Данный способ подходит, если при группировке слагаемых получается круглое число.
Пример:
43+52+35
Никакая группировка в данном случае не даст удобный результат.
Для вычитания чисел применяем свойство вычитания суммы из числа
1.Пример:
563-28-72=563-(28+72)=563-100=463
2. Пример:
1132-582-418=1132-(582+418)=1132-1000=132
Рассмотрим вариант, когда группировать не удобно.
3.Пример:
345-50-35
4) Круглое число
Задача№1
Мама готовит пирог на всю семью. сначала необходимо добавить 465 г., а потом 395 г.
Сколько всего надо добавить?
Мама готовит пирог на всю семью. сначала необходимо добавить 465 г., а потом 395 г.
Сколько всего надо добавить?
Если число близко к круглому, то его округляют, а затем вычитают (прибавляют) недостаток или избыток
465+398=465+400-2=863;
Задача №2
Мама готовит пирог на всю семью. сначала необходимо добавить 465 г. , а потом 395 г.
Сколько всего надо добавить?
465+402=465+400+2=867
Задача № 3
Игрушка стоит 872 руб. Мама обещала добавить 501 руб. Сколько необходимо накопить на игрушку?
872-501=872-500-1=371
Задача № 4
Игрушка стоит 872 руб. Мама обещала добавить 499 руб. Сколько необходимо накопить на игрушку?
872-499=872-500+1=373
Данный способ удобен в случае, если одно из слагаемых близко к круглому числу. Главный минус данного способа сложения и вычитания заключается в том, что не всегда может хватать немного до круглого числа.
3.Пример
65+135
Ни одно ни другое число округлять не удобно.
Рассмотрев разные способы сложения и вычитания натуральных чисел, можно прийти к выводу, что наиболее удобным способом является сложение и вычитание по разрядам, так как этим способом можно сложить любые числа.
Способы быстрого умножения чисел
К основным способам быстрого умножения относятся: умножение по разрядам, умножение на «1; 0,1; 0,01; 0,001»; умножение двухзначного числа на «11»; возведение в квадрат числа оканчивающийся на «5»; умножение на «1,5»; умножение на «15»; умножение на 22, 33, 44, … ,99; умножение на 5, 50, 25.
1) Умножение по разрядам
Задача № 1
Мне, моему брату и сестре надо купить по кексику который стоит 123 руб. Сколько нам для этого понадобиться денег?
Для умножения по разрядам необходимо число разбить на разрядные части, а потом умножить.
123×3
123=100+20+3
123×3=100×3+20×3+3×3=300+60+9=369
Задача №2
Мне и сестре надо купить по кексику который стоит 231 руб. Сколько нам для этого понадобиться денег?
231×2
231=200+30+1
231×2=200×2+30×2+2=400+60+2=462
Минусом в этом способе умножения является то, что число, на которое умножают, не всегда может быть однозначным.
Пример
456×23
2) Умножение на 1; 0,1; 0,01; 0,001
Для умножения на 0,1; 0,01; 0,001 необходимо разделить на 10; 100; 1000
Пример:
321×0,1=321÷10=32,1
321×0,01=321÷100=3,21
321×0,001=321÷1000=0,321
3) Умножение двухзначного числа на «11»
Задача № 1
На новый год придет 11 гостей. Каждому нужно купить по хлопушке. Одна хлопушка стоит 23 руб. Сколько понадобиться денег?
Для этого необходимо цифру десятков сделать цифрой сотен, цифру единиц цифрой единиц, а сумму цифр десятков и единиц сделать цифрами десятков.
23×11
2+3=5
23×11=253
Задача № 2
На новый год придет 11 гостей. Каждому нужно купить по хлопушке. Одна хлопушка стоит 41 руб. Сколько понадобиться денег?
41×11
4+1=5
41×11=415
4) Возведение в квадрат числа оканчивающийся на «5»
Результат будет начинаться с произведением первой цифры с ее последующей, а заканчиваться на 25
1. Пример:
65²
6×7=42
65²=4225
2. Пример:
55²
5×6=30
55²=3025
5) Умножение на «1,5»
Задача №1
1 кг картошки стоит 30 руб. Сколько стоит 1,5 кг картошки?
Для этого необходимо к исходному числу прибавить его половину
30×1,5
30÷2=15
30+15=45
30×1,5=45
ЗАДАЧА № 2
1 кг картошки стоит 30 руб. Сколько стоит 1,5 кг картошки?
44×1,5
44÷2=22
44+22=66
44×1,5=66
6) Умножение на «15»
Для этого мы умножаем на 10 и прибавляем половину полученного произведения
1. Пример:
32×15
32×10=320
320÷2=160
320+160=480
32×15=480
2. Пример:
24×15
24×10=240
240÷2=120
240+120=360
24×15=360
7) Умножение на «22, 33, 44, … ,99»
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа и 11, то есть 44 = 4×11; 55=5×11 и т.д.
1. Пример:
21×22
22=11×2
21×22=21×2×11=462
ПРИМЕР 2
15×33
33=3×11
15×33=15×3×11=459
8) Умножение на 5, 50, 25,
Чтобы умножить число на 5, 50, 25 необходимо воспользоваться следующими выражениями
а×5=а×10÷2
1. Пример:
35×5=35×10÷2=175
а×50=а×100÷2
2. Пример:
35×50=35×100÷2=1750
а×25=а×100÷4
3. Пример:
20×25=20×100÷4=500
Способы быстрого деления натуральных чисел
К основным способам быстрого деления относятся: деление по разрядам, деление на «0,1; 0,01; 0,001»; деление на «5 ,50 ,25».
1) Деление по разрядам
Для этого необходимо разложить число на разрядные части и разделить.
1. Пример:
7263÷9
7263=7200+63
7263÷9=7200÷9+63÷9=800+7=807
2. Пример:
6372÷9
6372=6300+72
6372÷9=6300÷9+72÷9=700+8=708
Иногда нам будет необходимо разделить на двухзначные числа или при делении больших разрядов может остаться остаток.
Пример
1932÷23
2) Деление на «0,1; 0,01; 0,001»
Чтобы разделить на 0,1; 0,01; 0,001 надо умножить на 10; 100; 1000
Пример:
321÷0,1=321×10=3210
321÷0,01=321×100=32100
321÷0,001=321×1000=321000
3) Деление на «5 ,50 ,25»
Для того чтобы разделить на 5, 50, 25 необходимо воспользоваться следующими выражениями
а÷5=а×2÷10
1. Пример:
20÷5=20×2÷10=4
а÷50=а×2÷100
2. Пример:
200÷50=200×2÷100=4
а÷25=а×4÷100
3. Пример:
50÷25=50×4÷100=2
Полезные советы
1. Необходимо тренироваться каждый день
2. Даже если по началу не получается не следует бросать тренировки
3. Больше читайте книги по разным методикам
4. Найдите именно ту которая вам удобна
Заключение
Я узнала историю счета, множество рациональных способов умножения, сложения, вычитания и деления. Научилась ими пользоваться и привела примеры. Теперь я могу не тратить время на подсчет простых примеров столбиком, а могу сразу дать ответ. Главное следовать полезным советам и все получится.
Библиографическая ссылка
Малашенко В.С. СПОСОБЫ БЫСТРОГО СЧЕТА // Старт в науке. – 2022. – № 2. ;URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=2166 (дата обращения: 04.12.2024).