Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и, соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.
Помимо экзаменов, изучение данной темы может помочь на олимпиадах, вступительных испытаниях и просто для погружения в удивительный математический мир.
Объект исследования: геометрические задачи, требующие нахождения отношений длин отрезков, площадей фигур.
Гипотеза: применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения.
Цель работы: Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков и площадей фигур.
Задачи:
· Рассмотреть доказательство теорем Чевы и Менелая
· Решить несколько задач с их помощью и другими способами. Выяснить какой из методов рациональнее в каждом конкретном случае
· Создать банк задач, при решении которых применение теорем Чевы и Менелая предпочтительнее.
Результатом исследования является презентация, которая поможет выпускникам 9 и 11 классов познакомится с методом решения задач на нахождение отношений длин отрезков и площадей фигур с помощью теорем Чевы и Менелая.
2.Теоретическая часть
2.1 Теорема Чевы
2.1.1 Кто такой Чева? Джованни Чева (1648-1734 г.)- итальянский инженер и математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых»(1678).
2.1.2 Что такое чевиана? Определение. Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны, или ее продолжения.
1.1.3 Теорема Чевы
Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда: 
Рассмотрим треугольники AOB1 и COB1
Поскольку их основания лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки O. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания: 
Аналогично можно выписать еще два соотношения:
; и 
Перемножая эти три равенства получаем:
Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе.
Треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные углы. Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих эти углы.
То есть: 
Аналогично можно выписать еще два соотношения:
и 
.
Перемножив эти равенства, получаем:
.
Имеем:
Докажем обратное утверждение.
Пусть точки C1, A1, B1 взяты на сторонах так, что выполнено равенство:
(1)
Докажем, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.
Обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA1 и BB1 и проведем прямую CO. Она пересекает сторону AB в некоторой точке, которую обозначим C2. Т.к. отрезки AA1, BB1 и CC2 пересекаются в одной точке, то, по доказанному в первом пункте:
(2)
Сопоставляя равенства (1) и (2): 
,
приходим к равенству 
; которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки
C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.
1.2 Теорема Менелая
1.2.1 Кто такой Менелай? Древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги "Сферики" (сохранились в арабском переводе). Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему о прямой, пересекающей стороны треугольника (теорема Менелая).
1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы Менелая
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно. Точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:
Доказательство.
1. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.
Треугольники AC1B1 и CKB1 подобны по двум углам.
Следовательно, 
. 
Далее, перемножив полученные равенства, получим:
,откуда следует, что:
или : 
Теорема доказана.
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка B1 взята на продолжении стороны AC, а точки C1 и A1 - на сторонах AB и BC, причем так, что выполнено равенство: 
Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. (рис.2)
Прямая B1C1 пересекает сторону BC в некоторой точке A2. (рис.1)
Т.к. точки B1, C1, A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте: 
Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству
, которое показывает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки A1 и A2 совпадают, и, значит, точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. 
3.Практическая часть
С помощью теорем Чевы и Менелая нетрудно доказать теоремы о четырех замечательных точках треугольника, теоремы Ван-Обеля и Симпсона. Остановимся на двух последних теоремах подробнее.
3.1 Теорема Ван-Обеля
Пусть чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке T, тогда справедливо равенство:
1.Для треугольника ABB1 и секущей CC1 запишем теорему Менелая:
; откуда получим 
(1)
2. Для треугольника BB1С
и секущей A1A, запишем теорему Менелая:
; откуда следует, что: 
(2)
3. Сложив 
= 
.
Итак, 
.
Теорема Симсона (Симпсона)
Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника ABC окружности. DP, DR, DQ – перпендикуляры к сторонам AB, AC и продолжению стороны BC соответственно. Докажем, что основания перпендикуляров P, R, Q лежат на одной прямой
Формулировка:
Основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или их продолжениям) из произвольный точки описанной окружности, лежат на одной прямой
Доказательство (Способ 1.)
Сделаем доп. построение – проведем отрезки AD и CD.
1) Т.к. ∠APD = 90° и ∠ ARD=90°,
то точки A,P,R,D лежат на одной окружности с диаметром AD.
Тогда ∠PRA = ∠PDA, т.к. они опираются на одну дугу.
2) Т.к. ∠CQD= ∠CRD=90°,
то точки Q, C, R, D лежат на одной окружности с диаметром CD.
Следовательно вписанные углы ∠CRQ = ∠CDQ как опирающиеся на одну дугу.
∠PDA = 90° - ∠PAD = 90° - ∠BAD
∠QDC = 90° - ∠QCD = 90° – (180° - ∠BCD) = 90° - ∠BAD
Итак, ∠PDA = ∠QDC, следовательно, ∠PRA = ∠CRQ.
Это означает, что точки P, R, Q лежат на одной прямой.
Теорема доказана.
3.3 Решение задач с помощью теорем Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона
3.3.1 Задача №1
Дано:
3.3.2 Задача №2
Дано: Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как 
, касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?
Решение. Обозначим 
, 
, 
(рис. 19). Так как 
, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении 
. Найдем это отношение.
По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: 
, откуда следует, что 
.
Ответ. 
.
3.3.4 Задача №4
3.3.6. Задача №6
В 
на стороне 
взята точка 
так, что 
. На продолжении стороны 
за точку 
взята точка 
так, что 
. Прямая 
пересекает сторону 
в точке 
. Найти отношение 
.
Дано: , 
, , 
– луч, 
, , 
.
Найти отношение .
Решение. I способ (без использования теоремы Менелая).
Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок 
(рис.8) . Пусть 
, тогда 
; пусть 
, тогда 
.
1) Рассмотрим 
и 
.
– общий угол для и ;
как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых 
и ( по дополнительному построению) секущей , 
. Следовательно, 
по двум углам.
Итак, 
– коэффициент подобия: 
И, значит, 
2) Рассмотрим 
и 
.
как вертикальные углы;
как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и секущей , , 
.
Следовательно, 
по двум углам.
Итак, 
– коэффициент подобия: 
Но, так как по доказанному: 
то мы получаем, что: 
Ответ: 
.
II способ (с использованием теоремы Менелая)
Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию МС= .
Прямая пересекает две стороны (
, 
) и продолжение третьей (
– луч, 
), значит, по теореме Менелая: 
И, значит,
Ответ: .
Как видим, использование теоремы Менелая значительно упрощает решение этой задачи.
Приложение. Банк задач, для решения которых рекомендуется использовать теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона
Задача №1
Катеты прямоугольного треугольника равны 9, 12 и гипотенуза равна 15. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.
Задача №2
В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.
Задача №3
Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин В и С до этой прямой равны b и с соответственно. Найдите расстояние от вершины А до этой прямой.
Задача №4
Через точку Р, лежащую на медиане СС1 треугольника АВС , проведены прямые АА1 и ВВ1 ( точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА соответственно). Докажите, что А1В1 ? АВ.
Задача №5
Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.
Задача №6
Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК, и в треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок АС пополам.
Библиографическая ссылка
Запольских М.В. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ // Старт в науке. – 2020. – № 2. ;URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1854 (дата обращения: 04.12.2024).