Старт в науке
Научный журнал для школьников ISSN 2542-0186
О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ

Запольских М.В. 1
1 МБОУ Школа №156, г. Уфа, р. Башкортастан
Шамиева Инга Энгелевна (г. Уфа, МБОУ Школы №156)
теорема
чевы
менелая
ван-обеля
симпсона
1. Атанасян, Л.С. Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:Просвещение, 1996. – 205с.
2. Вольфсон, , Б. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи / Б. И. Вольфсон, Л. И. Резницкий - Легион, 2011 г. – 129c.
3. Шевкин А. Вокруг теорем Чевы и Менелая //Математика. — № 9. — 2011.
4. Ларин, А.А. «Математика. [Электронный ресурс] / Репетитор»/URL: http://alexlarin.net/ege15.html
5. Школа в «Кванте», 1996 год, Математика, №6

Нередко учащиеся 9 и 11 классов сталкиваются с трудностями при решении практических задач на экзамене по математике. Это вторая часть ОГЭ/ЕГЭ, которая является наиболее сложной, и, соответственно, за которую можно набрать хорошее число баллов. Знание теорем Чевы и Менелая может значительно упростить решение таких задач.

Помимо экзаменов, изучение данной темы может помочь на олимпиадах, вступительных испытаниях и просто для погружения в удивительный математический мир.

Объект исследования: геометрические задачи, требующие нахождения отношений длин отрезков, площадей фигур.

Гипотеза: применение теорем Чевы и Менелая при решении многих задач рациональнее, чем другие способы решения.

Цель работы: Доказать теоремы Чевы и Менелая, выяснить, насколько их применение упрощает решение задач на отношение отрезков и площадей фигур.

Задачи:

· Рассмотреть доказательство теорем Чевы и Менелая

· Решить несколько задач с их помощью и другими способами. Выяснить какой из методов рациональнее в каждом конкретном случае

· Создать банк задач, при решении которых применение теорем Чевы и Менелая предпочтительнее.

Результатом исследования является презентация, которая поможет выпускникам 9 и 11 классов познакомится с методом решения задач на нахождение отношений длин отрезков и площадей фигур с помощью теорем Чевы и Менелая.

2.Теоретическая часть

2.1 Теорема Чевы

2.1.1 Кто такой Чева? Джованни Чева (1648-1734 г.)- итальянский инженер и математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых»(1678).

2.1.2 Что такое чевиана? Определение. Чевианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с произвольной точкой противолежащей стороны, или ее продолжения.

1.1.3 Теорема Чевы
Если на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

Рассмотрим треугольники AOB1 и COB1

Поскольку их основания лежат на одной прямой, то у этих треугольников общая высота, опущенная из точки O. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся так же, как их основания:

 

 

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

; и

Перемножая эти три равенства получаем:


Рассмотрим левую часть данного равенства. Запишем её иначе.

Треугольники AOB1 и BOA1 имеют равные углы. Значит, их площади относятся как произведения длин сторон, заключающих эти углы.

То есть:

Аналогично можно выписать еще два соотношения:

и .

Перемножив эти равенства, получаем:

.

Имеем:

Докажем обратное утверждение.

Пусть точки C1, A1, B1 взяты на сторонах так, что выполнено равенство:

(1)

 Докажем, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Обозначим буквой O точку пересечения отрезков AA1 и BB1 и проведем прямую CO. Она пересекает сторону AB в некоторой точке, которую обозначим C2. Т.к. отрезки AA1, BB1 и CC2 пересекаются в одной точке, то, по доказанному в первом пункте: (2)

Сопоставляя равенства (1) и (2): ,

приходим к равенству ; которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки

 C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

1.2 Теорема Менелая

1.2.1 Кто такой Менелай? Древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги "Сферики" (сохранились в арабском переводе). Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему о прямой, пересекающей стороны треугольника (теорема Менелая).

1.2.2 Формулировка и доказательство теоремы Менелая

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно. Точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

Доказательство.

1. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B1C1.

Треугольники AC1B1 и CKB1 подобны по двум углам.

Следовательно, .

Далее, перемножив полученные равенства, получим:

,откуда следует, что:

или :

Теорема доказана.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка B1 взята на продолжении стороны AC, а точки C1 и A1 - на сторонах AB и BC, причем так, что выполнено равенство:

Докажем, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой. (рис.2)

 

Рис.2Рис.12

Прямая B1C1 пересекает сторону BC в некоторой точке A2. (рис.1)

Т.к. точки B1, C1, A2 лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте:

Сопоставляя (1) и (2), приходим к равенству, которое показывает, что точки A1 и A2 делят сторону BC в одном и том же отношении. Следовательно, точки A1 и A2 совпадают, и, значит, точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

3.Практическая часть

С помощью теорем Чевы и Менелая нетрудно доказать теоремы о четырех замечательных точках треугольника, теоремы Ван-Обеля и Симпсона. Остановимся на двух последних теоремах подробнее.

3.1 Теорема Ван-Обеля

Пусть чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке T, тогда справедливо равенство:

 

1.Для треугольника ABB1 и секущей CC1 запишем теорему Менелая:

; откуда получим (1)

2. Для треугольника BB1Си секущей A1A, запишем теорему Менелая:

; откуда следует, что: (2)

3. Сложив = .

Итак, .

 

Теорема Симсона (Симпсона)

Пусть D – произвольная точка описанной около треугольника ABC окружности. DP, DR, DQ – перпендикуляры к сторонам AB, AC и продолжению стороны BC соответственно. Докажем, что основания перпендикуляров P, R, Q лежат на одной прямой

Формулировка:

Основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или их продолжениям) из произвольный точки описанной окружности, лежат на одной прямой

Доказательство (Способ 1.)

Сделаем доп. построение – проведем отрезки AD и CD.

1) Т.к. ∠APD = 90° и ∠ ARD=90°,  

то точки A,P,R,D лежат на одной окружности с диаметром AD.

Тогда ∠PRA = ∠PDA, т.к. они опираются на одну дугу.

2) Т.к. ∠CQD= ∠CRD=90°,

то точки Q, C, R, D лежат на одной окружности с диаметром CD.

Следовательно вписанные углы ∠CRQ = ∠CDQ как опирающиеся на одну дугу.

∠PDA = 90° - ∠PAD = 90° - ∠BAD

∠QDC = 90° - ∠QCD = 90° – (180° - ∠BCD) = 90° - ∠BAD

Итак, ∠PDA = ∠QDC, следовательно, ∠PRA = ∠CRQ.

Это означает, что точки P, R, Q лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

3.3 Решение задач с помощью теорем Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

3.3.1 Задача №1

Дано:

3.3.2 Задача №2

Дано: Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение.

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

3.3.4 Задача №4

3.3.6. Задача №6

В на стороне взята точ­ка так, что . На продолжении стороны за точку взята точка так, что . Пря­мая пересекает сторо­ну в точке . Найти отношение .

Дано: , , , – луч, , , .

Найти отношение .

Решение. I способ (без использования теоремы Менелая).

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок (рис.8) . Пусть , тогда ; пусть , тогда .

1) Рассмотрим и .

– общий угол для и ;

как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых и ( по дополнительному построению) секущей , . Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

И, значит,

2) Рассмотрим и .

как вертикальные углы;

как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых и секущей , , .

Следовательно, по двум углам.

Итак, – коэффициент подобия:

Но, так как по доказанному: то мы получаем, что:

Ответ: .

II способ (с использованием теоремы Менелая)

Пусть , тогда по условию (): ; пусть , тогда по условию МС= .

Прямая пересекает две стороны (, ) и продол­жение третьей ( – луч, ), значит, по теореме Менелая: И, значит,

Ответ: .

Как видим, использование теоремы Менелая значительно упрощает решение этой задачи.

 

Приложение. Банк задач, для решения которых рекомендуется использовать теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля и Симпсона

Задача №1

Катеты прямоугольного треугольника равны 9, 12 и гипотенуза равна 15. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

Задача №2

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.

Задача №3

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин В и С до этой прямой равны b и с соответственно. Найдите расстояние от вершины А до этой прямой.

Задача №4

Через точку Р, лежащую на медиане СС1 треугольника АВС , проведены прямые АА1 и ВВ1 ( точки А1 и В1 лежат на сторонах ВС и СА соответственно). Докажите, что А1В1 ? АВ.

Задача №5

Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.

Задача №6

Из вершины С прямого угла треугольника АВС опущена высота СК, и в треугольнике АСК проведена биссектриса СЕ. Прямая, проходящая через точку В параллельно СЕ, пересекает СК в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок АС пополам.


Библиографическая ссылка

Запольских М.В. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ // Старт в науке. – 2020. – № 2. – С. 10-10;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=1854 (дата обращения: 23.06.2021).