Я ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и другие.
Наибольшее мое внимание привлекли темы «Площади фигур», « Составление формул». Я заметил, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызывало у меня затруднений.
Заинтересовавшись этой темой, я начал искать дополнительный материал в Интернете. В результате поисков я натолкнулся на формулу Пика- это формула для вычисления площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Вычисление площади по этой формуле мне показалось доступным любому ученику. Именно поэтому я решил провести исследовательскую работу.
Актуальность темы. Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.
Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.
Цель работы:
1. Ознакомиться с формулой Пика.
2. Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.
3. Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.
Задачи исследования:
1. Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.
2. Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.
3. Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.
Основная часть
Историческая справка
Георг Александр Пик – австрийский математик, родился 10 августа 1859 года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.
Георг Пик получил образование в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско- Фердинандском университете в Праге. Там же он стал преподавателем. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а затем вернулся в Вену.
Пик возглавлял комитет в немецком университете Праги, который назначил Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.
Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.
Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
Исследование и доказательство
Свою исследовательскую работу я начал с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Составить формулу для вычисления площади различных треугольников и четырехугольников я мог. А как же быть с пяти-, шести-, и вообще с многоугольниками ?
В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так: S=B+Г/2–1, где В – количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г – количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.
Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½,, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.
Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В – число узлов внутри него, через Г – число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°• Т.
Теперь найдем сумму другим способом.
Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2•180°, т.е. общая сумма углов равна 360°• В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г – n)180°, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г – 2)180°. Таким образом, Т=2•180°• В+(Г–n)180°+(n–2)180°. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.
Практическая часть
Эту формулу решил проверить на заданиях из сборника ОГЭ-2017. Взял задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника и пятиугольника. Решил сравнить ответы, решая двумя способами: 1) дополнил фигуры до прямоугольника и из площади полученного прямоугольника вычел площадь прямоугольных треугольников; 2) применил формулу Пика.
S = 18–1,5–4,5 = 12 и S = 7+12/2–1= 12.
S = 24–9–3 = 12 и S = 7+12/2–1 = 12.
S = 77–7,5–12–4,5–4 =49 и S = 43+14/2–1 = 49.
Сравнив полученное, делаю вывод, что обе формулы дают один и тот же ответ. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. Легкость решения и экономия времени на вычислениях мне пригодятся в будущем при сдаче ОГЭ.
Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.
S = 0 + 4/2 -1 = 1
S = 5+11/2–1 = 9,5
S = 4+16/2–1 = 1
Заключение
Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.
Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.
Я уверен, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения. Ведь я уже знаком с формулой Пика.
Библиографическая ссылка
Габбазов Н.Н. ФОРМУЛА ПИКА // Старт в науке. – 2017. – № 6-1. ;URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (дата обращения: 26.04.2024).