Старт в науке
Научный журнал для школьников ISSN 2542-0186
О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

НЕСТАНДАРТНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ И ЦЕПЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Насонов И.В. 1
1 г. Липецка, МАОУ СОШ № 59, 7 класс
Блюмин С.Л. (г. Липецк, ЛГТУ)
1. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. – М.: ГУПИ, 1938. – 480 с.
2. Carroll M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050].

В данной работе систематически используется операция логарифмирования, тесно связанная с операцией возведения в степень. Напомним, что логарифм числа х по основанию a есть показатель той степени, в какую нужно возвести а, чтобы получить х. Ниже представлены некоторые свойства степеней и логарифмов:

nas01.wmf

nas02.wmf Бином Ньютона

nas03.wmf

nas04.wmf

nas05.wmf nas06.wmf

nas07.wmf

nas08.wmf

nas09.wmf nas10.wmf

nas11.wmf

Отправной точкой для данного исследования послужило свойство:

nas12.wmf

Оно вызвало у меня 2 вопроса:

– логарифм суммы равен какой операции над логарифмами слагаемых?

– логарифм какой операции равен произведению логарифмов операндов?

(операнд – аргумент операции), то есть

nas13.wmf

nas14.wmf

Среди общеизвестных свойств логарифмов эти свойства отсутствуют.

Это не случайно. В книге [1] на стр. 160 читаем:

«Отметим еще малоизвестную коммутативную и ассоциативную операцию, ступенью ниже сложения, относительно которой сложение, как легко убедиться, дистрибутивно:

nas15.wmf

Определенная так функция двух переменных nas16.wmfи есть, очевидно, та функция от log x и log y, которая выражает log(x + y) через log x и log y: log(x + y) = f(log x, log y).»

К сожалению, автор [1] не указывает тот источник из (довольно представительного на то время – 1938 год) списка литературы, в котором впервые была указана эта малоизвестная операция. Сам автор пишет:

«Имея в виду сравнительную элементарность вопросов, я позволил себе не наводить литературных справок и потому лишен возможности сослаться на какие-либо литературные источники по указанным (этому и другим) пунктам.»

Следует отметить, что упоминание об указанной малоизвестной операции, ступенью ниже сложения, завершает «§ 45. Операции высших ступеней» «Главы V. Операторная теория действий третьей ступени»; понимая под операцией первой ступени сложение, а второй – умножение, автор подробно рассматривает в указанной главе операцию третьей ступени, а в указанном параграфе намечает «само собой напрашивающийся вопрос об операциях четвертой и высших ступеней».

Современное изложение этих вопросов, без ссылки на книгу [1], содержится в работе [2], посвященной «естественной цепи бинарных арифметических операций». Операции определяются с использованием обозначаемых через ln натуральных логарифмов, для которых фигурирующее выше η равно числу е – основанию натуральных логарифмов, причем ex часто обозначается exp x. В силу этого определения ln ex = x, exp ln x = x.

Именно в рамках этой цепи справедливо общее свойство логарифмов

nas17.wmf.

При этом цепь определяется следующими соотношениями:

– для n = 0 nas18.wmf,

так что, в отличие от [1], обычное сложение является операцией не первой, а нулевой ступени;

– для n ≤ 0 nas19.wmf;

– для n ≥ 0 nas20.wmf.

В силу последнего определения при n = 0

nas21.wmf

оказывается обычным умножением – операцией не второй, а первой ступени в отличие от [1]; рассмотренная в [1] операция третьей ступени оказывается операцией второй ступени

nas22.wmf.

Теперь:

nas23.wmf – общеизвестное свойство;

nas24.wmf,

что дает ответ на второй вопрос;

если же положить в первом определении n = 0, nas25.wmf, nas26.wmf, nas27.wmf, nas28.wmf, то

nas29.wmf,

что дает ответ на первый вопрос – ответ, совпадающий с указанным в [1].

Поскольку мы столкнулись с «нестандартными» числовыми операциями, мне стало интересно, образуют ли пары этих операций числовые поля. Для того, чтобы узнать это, проверим пары операций на аксиомах поля действительных чисел.

Далее используем тройную нумерацию: первое число – индекс первой операции пары, второе – номер операции пары (первая или вторая; в последней аксиоме, связывающей операции, на этом месте стоит 3), третье – номер аксиомы. Кроме того, далее будем обозначать операцию ⊕–1 знаком ⊕, без какого-либо индекса.

Вот всем известная пара операций, обычное сложение и обычное умножение <⊕0; ⊕1>, удовлетворяющая аксиомам числового поля – именно для них были впервые сформулированы эти аксиомы:

0.1.1. nas30.wmf (ассоциативность) +

0.1.2. nas31.wmf (существование нейтрального элемента) +

0.1.3. nas32.wmf (существование противоположного элемента: b = -a) +

0.1.4. nas33.wmf (коммутативность) +

0.2.1. nas34.wmf (ассоциативность) +

0.2.2. nas35.wmf (существование нейтрального элемента) +

0.2.3. nas36.wmf (существование обратного элемента: b = 1/a) +

0.2.4. nas37.wmf (коммутативность) +

0.3.1. nas38.wmf (дистрибутивность) +

Теперь делаем то же с парой <⊕–1; ⊕0>, когда сложение необычное, а роль умножения играет обычное сложение:

-1.1.1. (a⊕b)⊕c = a(b⊕c) (ассоциативность) +

-1.1.2. -∞⊕a = a⊕-∞ = a (существование нейтрального элемента) +

-1.1.3. a⊕b = -∞ (существование противоположного элемента) -

-1.1.4. a⊕b = b⊕a (коммутативность) +

-1.2.1. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность) +

-1.2.2.(a + 0) = (0 + a) = a (существование нейтрального элемента) +

-1.2.3. a + b = 0 (существование обратного элемента: b = -a) +

-1.2.4. a + b = b + a (коммутативность) +

-1.3.1. a⊕b + c = (a + с)⊕(b + c) (дистрибутивность) +

Здесь мы видим, что аксиома -1.1.3. не выполняется, отсюда делаем вывод, что множество чисел с этими операциями поля не образует – отсутствует противоположный элемент; в этом случае говорят о полуполе.

Третья пара операций <⊕1; ⊕2>, роль сложения играет обычное умножение, а умножение необычное:

1.1.1. nas39.wmf (ассоциативность) +

1.1.2. nas40.wmf (существование нейтрального элемента) +

1.1.3. nas41.wmf (существование противоположного элемента: b = 1/a) +

1.1.4. nas42.wmf (коммутативность) +

1.2.1. nas43.wmf (ассоциативность) +

1.2.2. nas44.wmf (существование нейтрального элемента) +

1.2.3. nas45.wmf (существование обратного элемента, nas46.wmf) +

1.2.4. nas47.wmf (коммутативность) +

1.3.1. nas48.wmf (дистрибутивность) +

Делаем вывод: множество чисел с этой парой операций образует поле.

Проверим справедливость некоторых аксиом:

1.2.1:nas49.wmf

nas50.wmf

1.2.2: nas51.wmf

nas52.wmf

1.2.3: nas53.wmf

nas54.wmf

nas55.wmf

nas56.wmf

nas57.wmf

nas58.wmf

1.2.4: nas59.wmf

nas60.wmf

nas61.wmf

Выводы

В ходе работы мы нашли как операцию, выражающую логарифм суммы через логарифмы слагаемых, так и операцию, логарифм которой равен произведению логарифмов операндов. Так же мы узнали, образует ли множество чисел с «нестандартными» парами операций числовые поля. При этом возникла отличная от числового поля структура – полуполе.

Направление дальнейших исследований – проверить аксиомы для других пар операций цепи из [2] и определить возникающие при этом алгебраические структуры.


Библиографическая ссылка

Насонов И.В. НЕСТАНДАРТНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ И ЦЕПЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ // Старт в науке. – 2017. – № 4-1. – С. 60-62;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=677 (дата обращения: 30.09.2020).